Questão 178 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume de esfera) e Razão de Volumes em Sólidos Semelhantes
• ⚡ Nível: Médio — exige reconhecer que dobrar o diâmetro multiplica o volume por 8 e combinar com a quantidade encomendada
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Razão de semelhança em sólidos e cálculo proporcional de massa/volume (H21)
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas porções da receita-base são necessárias para produzir 150 esferas de 4 cm de diâmetro, sabendo que uma porção produz 50 esferas de 2 cm de diâmetro?"
• Palavras-chave decisivas: 50 docinhos, 2 cm de diâmetro (receita base), 150 docinhos, 4 cm de diâmetro (encomenda), número exato de porções
• Armadilha típica: ignorar que dobrar o diâmetro multiplica o volume por 2³ = 8, e calcular apenas pela razão "150/50 = 3" (alternativa B), ou esquecer que o raio é metade do diâmetro e usar fator 2³ direto sobre o diâmetro errado.
• O que a resposta precisa demonstrar: cálculo do volume total da encomenda, cálculo do volume produzido por uma porção, e divisão para obter o número de porções.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume da esfera: V = (4/3)·π·r³, onde r é o raio. O raio é metade do diâmetro.
• Razão de semelhança em sólidos: se duas esferas têm diâmetros d₁ e d₂, a razão dos volumes é (d₂/d₁)³. Aqui, dobrar o diâmetro (de 2 para 4 cm) multiplica o volume por 2³ = 8.
• Conservação de massa em receita: se uma porção rende um volume total V_porção (independentemente do formato individual dos docinhos), a quantidade de porções para uma encomenda V_total é N = V_total ÷ V_porção.
• Estratégia de divisão de volumes: sempre que houver π em ambos os lados, ele se cancela na razão final, simplificando os cálculos.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "prepara uma porção, com a qual produz 50 docinhos maciços de formato esférico, com 2 cm de diâmetro" → uma porção contém volume suficiente para 50 esferas de raio 1 cm.
• Evidência 2: "150 desses docinhos, mas pede que cada um tenha formato esférico com 4 cm de diâmetro" → encomenda de 150 esferas de raio 2 cm. Como o diâmetro DOBRA, o volume de cada docinho octuplica (× 8).
• Evidência 3: "número exato de porções" → resposta inteira; nenhuma fração de porção é aceita. Já indica que a divisão final será exata.
• Síntese: calcular V_porção (volume de 50 esferas de r=1) e V_encomenda (volume de 150 esferas de r=2); dividir.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Volume de cada docinho da receita-base

r₁ = 2 ÷ 2 = 1 cm

V₁ = (4/3) · π · (1)³ = (4π)/3 cm³

Subpasso 4.2 — Volume produzido por uma porção da receita

V_porção = 50 · V₁ = 50 · (4π/3) = 200π/3 cm³

Subpasso 4.3 — Volume de cada docinho encomendado

r₂ = 4 ÷ 2 = 2 cm

V₂ = (4/3) · π · (2)³ = (4/3) · π · 8 = 32π/3 cm³

Note que V₂/V₁ = (32π/3) / (4π/3) = 8, confirmando que dobrar o diâmetro multiplica o volume por 2³ = 8.

Subpasso 4.4 — Volume total da encomenda

V_encomenda = 150 · V₂ = 150 · (32π/3) = (150 · 32 · π)/3 = (4 800π)/3 = 1 600π cm³

Subpasso 4.5 — Número de porções

N = V_encomenda ÷ V_porção = 1 600π ÷ (200π/3) = 1 600π · (3 / (200π)) = (1 600 · 3) / 200 = 4 800/200 = 24

O π se cancela e o resultado é exatamente 24 porções.

Subpasso 4.6 — Verificação por raciocínio proporcional

Cada porção dá 50 docinhos pequenos. Como cada docinho grande "vale" 8 docinhos pequenos em volume, uma porção rende equivalente a 50 ÷ 8 = 6,25 docinhos grandes. Para 150 docinhos grandes: 150 ÷ 6,25 = 24. Confirma o resultado pela alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2

❌ Incorreta: seria a resposta se o aluno fizesse 150 ÷ 50 e dividisse por algum fator pequeno (como 1,5 arredondado), ou se considerasse os docinhos como equivalentes em volume e ainda errasse a divisão. Subestima drasticamente o efeito de dobrar o diâmetro.

B) 3

❌ Incorreta: clássico erro de fazer apenas 150 ÷ 50 = 3, ignorando completamente que os docinhos novos são maiores. Trata os docinhos grandes e pequenos como equivalentes em volume — falha conceitual grave.

C) 6

❌ Incorreta: corresponde a aplicar fator 2 (e não 8) sobre o resultado anterior — como se dobrar o diâmetro dobrasse o volume. Confunde escalonamento linear com escalonamento cúbico.

D) 12

❌ Incorreta: corresponde a aplicar fator 4 (escalonamento "quadrático", como se fosse área) sobre 3. Ainda não reconhece que volume escala com r³.

E) 24

✅ Correta: N = 1 600π ÷ (200π/3) = 24. Vem de aplicar corretamente o fator de escala cúbico (2³ = 8) e a razão de quantidades (150/50 = 3): N = 3 · 8 = 24.

🏆 Gabarito: E — A cozinheira precisa preparar 24 porções da receita-base para produzir 150 docinhos esféricos de 4 cm de diâmetro.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a única resposta possível é 24 porque (150/50) · 2³ = 3 · 8 = 24, integrando a razão de quantidades com a razão cúbica de volumes.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente usa "transformação de receita" para testar razão de volumes em sólidos semelhantes. A pegadinha é sempre a mesma: o aluno pensa linearmente quando deveria pensar cubicamente.
• Generalização: se um sólido tem dimensões lineares multiplicadas por k, sua área se multiplica por k² e seu volume por k³. Essa é a "lei do escalonamento" das figuras semelhantes.
• Dica de eliminação rápida: se você dobra o diâmetro, multiplique o volume por 8. Combine com a razão de quantidades — a resposta sempre será o produto dos dois fatores. Eliminar A, B e C é imediato porque nenhum reflete escalonamento cúbico.
• Conexões com outros temas: semelhança de figuras planas (área escala com k²), análise dimensional em Física (massa, força, energia), e biologia (lei de Kleiber: taxa metabólica versus tamanho corporal).