Questão 176 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Analítica (princípio da reflexão para minimizar trajetos) e Distância entre Pontos
• ⚡ Nível: Difícil — exige aplicar o princípio do "caminho mínimo via reflexão" (lei de Heron / espelho), conceito pouco trivial em ensino médio
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Otimização geométrica e uso de coordenadas para resolver problemas reais (H8)
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Em qual dos cinco pontos sobre o eixo x deve estar o ponto P para que a soma AP + PB seja mínima, dados A=(20,40) e B=(50,20)?"
• Palavras-chave decisivas: mesmo ponto, menor possível, distância percorrida, passando pelo ponto de conexão
• Armadilha típica: escolher V (x=50, abaixo de B) por achar que "ir reto até B" minimiza o percurso, ou escolher III (meio do caminho entre x=20 e x=50) por intuição de simetria. Ambos ignoram que A e B têm alturas DIFERENTES (40 e 20).
• O que a resposta precisa demonstrar: uso do princípio do espelho — refletir A pelo eixo x e traçar reta A'B para encontrar o cruzamento com o eixo, que é o ponto ótimo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Soma de distâncias mínima a uma reta (princípio de reflexão / Heron de Alexandria): dado um ponto P sobre uma reta r e dois pontos fixos A e B do mesmo lado de r, a soma AP + PB é mínima quando P está na intersecção de r com o segmento A'B, onde A' é o reflexo de A em relação a r. Geometricamente, isso garante que os ângulos de "incidência" e "reflexão" em P sejam iguais.
• Reflexão pelo eixo x: o reflexo de (x₀, y₀) é (x₀, -y₀). Apenas a coordenada y troca de sinal.
• Equação da reta por dois pontos: dada P₁=(x₁,y₁) e P₂=(x₂,y₂), m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) e y - y₁ = m(x - x₁).
• Intersecção com o eixo x: basta fazer y = 0 e isolar x.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Descrição da figura: o esboço mostra um plano cartesiano com a Rodovia 003 sobre o eixo x. A cidade A está em (20, 40) e a cidade B em (50, 20). Cinco pontos de conexão são marcados sobre o eixo x: I≈(20,0), II≈(30,0), III≈(35,0), IV≈(40,0) e V≈(50,0). Tracejados conectam A e B a cada um dos cinco pontos, simulando as Rodovias 001 e 002.
• Evidência 1: "deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto" → o trajeto vai de A até P sobre o eixo x, e de P até B. A função a minimizar é d(A,P) + d(P,B).
• Evidência 2: "a distância percorrida entre as duas cidades... seja a menor possível" → problema clássico de otimização: caminho mínimo entre dois pontos do mesmo lado de uma reta.
• Síntese: aplica-se reflexão de A em relação ao eixo x; o ponto ótimo é a intersecção da reta A'B com o eixo, e a alternativa correta é a sugestão mais próxima desse x.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Localizar A, B e os 5 pontos sugeridos

Pelas posições no esboço: A = (20, 40); B = (50, 20). Pontos sobre a Rodovia 003 (eixo x): I = (20, 0); II = (30, 0); III = (35, 0); IV = (40, 0); V = (50, 0).

Subpasso 4.2 — Refletir A pelo eixo x

A reflexão troca o sinal de y:

A' = (20, -40)

A reflexão "transforma" a soma AP + PB na distância única A'B (em linha reta), pois |AP| = |A'P| para qualquer P sobre o eixo x.

Subpasso 4.3 — Equação da reta A'B

Coeficiente angular:

m = (y_B - y_A') / (x_B - x_A') = (20 - (-40)) / (50 - 20) = 60/30 = 2

Reta passando por A' = (20, -40):

y - (-40) = 2 · (x - 20)

y + 40 = 2x - 40

y = 2x - 80

Subpasso 4.4 — Intersecção com o eixo x (y = 0)

0 = 2x - 80

2x = 80

x = 40

O ponto P ótimo está em (40, 0). Olhando o esboço, esse é exatamente o ponto IV.

Subpasso 4.5 — Verificação numérica das somas

Calculando AP + PB para cada candidato (com d = √((Δx)² + (Δy)²)):

• I (x=20): AP = √(0+1600) = 40; PB = √(900+400) = √1300 ≈ 36,06. Total ≈ 76,06.
• II (x=30): AP = √(100+1600) = √1700 ≈ 41,23; PB = √(400+400) = √800 ≈ 28,28. Total ≈ 69,51.
• III (x=35): AP = √(225+1600) = √1825 ≈ 42,72; PB = √(225+400) = √625 = 25. Total ≈ 67,72.
• IV (x=40): AP = √(400+1600) = √2000 ≈ 44,72; PB = √(100+400) = √500 ≈ 22,36. Total ≈ 67,08.
• V (x=50): AP = √(900+1600) = √2500 = 50; PB = √(0+400) = 20. Total = 70,00.

O mínimo ocorre em IV, confirmando o resultado obtido pela reflexão.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I

❌ Incorreta: ponto I = (20, 0) está bem abaixo de A. AP = 40 (todo o trajeto vertical) e PB ≈ 36,06. Total ≈ 76,06 — o pior dos cinco. Erro de quem pensa "alinha com A para zerar o desvio até A".

B) II

❌ Incorreta: II = (30, 0). A soma cai para ≈ 69,51 — melhor que I, mas ainda longe do mínimo. Erro de quem desloca-se um terço do caminho de A para B na horizontal (intuição superficial).

C) III

❌ Incorreta: III = (35, 0), o ponto médio entre x=20 e x=50. Soma ≈ 67,72. Apenas 0,64 acima do mínimo, mas ainda não é o ótimo — confunde "ponto médio" com "ponto que iguala ângulos de reflexão", o que só seria igual se A e B tivessem a mesma altura.

D) IV

✅ Correta: IV = (40, 0). Resultado direto da reflexão A → A' = (20, -40), reta A'B intercepta o eixo x em x = 40. Soma ≈ 67,08, mínima entre as cinco opções. Os ângulos AP-eixo e PB-eixo são iguais (≈ 63,4°), satisfazendo a lei do espelho.

E) V

❌ Incorreta: V = (50, 0) está alinhado verticalmente com B. PB = 20 fica curto, mas AP = 50 fica longo demais. Total = 70 — pior que IV. Erro simétrico ao da alternativa A.

🏆 Gabarito: D — O ponto IV (x = 40) minimiza a soma AP + PB porque coincide com a intersecção entre o eixo x e a reta que une B ao reflexo A' = (20, -40) de A.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre as cinco posições, IV é a única em que os triângulos AP-eixo e BP-eixo formam ângulos iguais com a Rodovia 003 — condição necessária e suficiente para distância mínima.
• Padrão de cobrança: ENEM e vestibulares cobram o "problema do espelho" disfarçado de logística, óptica ou caminho mais curto até um rio. A reflexão é a chave universal.
• Generalização: sempre que se pede minimizar AP + PB com P em uma reta r e A, B do mesmo lado, reflita A (ou B) por r e una o reflexo ao outro ponto. A intersecção é o ótimo.
• Dica de eliminação rápida: quando A e B têm alturas h_A e h_B com h_A ≠ h_B, o ponto ótimo divide a distância horizontal x_B - x_A na razão h_A : h_B. No caso, 40:20 = 2:1, então P está a 2/3 do caminho de A para B na horizontal: x = 20 + (2/3)·30 = 40. Bate.
• Conexões com outros temas: óptica geométrica (Física: ângulo de incidência igual ao de reflexão), problemas de fluxo logístico (Geografia: traçado de rodovias e oleodutos), e funções de mínimo via derivada (Cálculo no ensino superior).