Questão 174 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume de cilindro e esfera)
• ⚡ Nível: Médio — exige aplicar duas fórmulas distintas e dividir os volumes, com atenção ao raio da esfera (metade do diâmetro)
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Cálculo de volumes de sólidos geométricos e razão entre volumes (H21)
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas esferas maciças de diâmetro 1 cm cabem no volume total de um cilindro maciço de raio 4 cm e altura 50 cm?"
• Palavras-chave decisivas: maciça, cilíndrico, diâmetro de 1 cm, não ocorre perda de material
• Armadilha típica: usar o diâmetro (1 cm) como se fosse o raio da esfera, esquecendo que r = d ÷ 2 = ½ cm. Esse deslize multiplica o volume da esfera por 8 e leva direto à alternativa A (800).
• O que a resposta precisa demonstrar: cálculo correto de V_cilindro = π·r²·h e V_esfera = (4/3)·π·r³, seguido da divisão N = V_cilindro ÷ V_esfera, simplificando π e fração antes de finalizar.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do cilindro reto: V = π·r²·h, em que r é o raio da base circular e h é a altura. Como a peça é maciça, todo o espaço interno conta como metal.
• Volume da esfera: V = (4/3)·π·r³. O raio é metade do diâmetro — confundir os dois é a fonte de erro mais frequente.
• Conservação de volume em derretimento: quando se derrete um sólido sem perda de massa, o volume total de metal líquido é igual ao volume do sólido original. Esse volume é então redistribuído nos novos sólidos.
• Quantidade de peças produzidas: se o volume disponível é V_total e cada peça nova tem volume V_unit, então o número de peças é N = V_total ÷ V_unit. O π das duas fórmulas se cancela na divisão, simplificando muito a conta.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "peça é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm" → fornece diretamente r = 4 cm e h = 50 cm para o cilindro. "Maciça" garante que não há cavidades a descontar.
• Evidência 2: "esferas maciças com diâmetro de 1 cm" → ATENÇÃO: o enunciado dá o DIÂMETRO, não o raio. Logo r_esfera = ½ cm = 0,5 cm.
• Evidência 3: "admite-se que não ocorre perda de material durante o processo de derretimento" → autoriza a igualdade V_cilindro = N · V_esfera, ou seja, o volume original se distribui integralmente nas esferas.
• Síntese: basta calcular os dois volumes e dividir. O cuidado central está em usar r = ½ no volume da esfera, não r = 1.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Volume do cilindro

Aplicando V_cil = π·r²·h com r = 4 cm e h = 50 cm:

V_cil = π · (4)² · 50 = π · 16 · 50 = 800π cm³.

Esse é todo o metal disponível após o derretimento.

Subpasso 4.2 — Raio da esfera

O enunciado diz diâmetro de 1 cm. Como o raio é metade do diâmetro:

r_esf = 1 ÷ 2 = ½ cm = 0,5 cm.

Esse é o ponto onde o aluno desatento se perde.

Subpasso 4.3 — Volume de cada esfera

Aplicando V_esf = (4/3)·π·r³ com r = ½:

V_esf = (4/3) · π · (½)³ = (4/3) · π · (1/8) = (4·π)/(24) = π/6 cm³.

Cada esfera maciça ocupa π/6 cm³ de metal.

Subpasso 4.4 — Quantidade de esferas

N = V_cil ÷ V_esf = 800π ÷ (π/6).

Dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo inverso:

N = 800π · (6/π) = 800 · 6 = 4 800.

O π se cancela perfeitamente, deixando uma conta inteira.

Subpasso 4.5 — Verificação dimensional

Volume em cm³ ÷ volume em cm³ = número adimensional (esferas). Confere. O resultado 4 800 está exatamente entre as alternativas oferecidas, e bate com a alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 800

❌ Incorreta: corresponde a usar r_esfera = 1 cm (o diâmetro inteiro) em vez de ½. Nesse caso V_esf = (4/3)π·1 = (4π)/3 e N = 800π ÷ (4π/3) = 600. Mas o erro mais comum que leva a 800 é multiplicar π·16·50 e parar aí, esquecendo a divisão pelo volume da esfera — ou seja, confundir 800π cm³ com "número de esferas".

B) 1 200

❌ Incorreta: resulta de calcular V_cil sem o quadrado do raio (π·4·50 = 200π) ou de usar V_esf = (4/3)π·(½) = 2π/3 (esquecendo o cubo). Com 800π ÷ (2π/3) sai 1 200. Distração com expoente.

C) 2 400

❌ Incorreta: vem de usar V_esf = π/3 (substituindo a constante 4/3 por 4·1/8 = 1/2, mas mantendo um fator errado), ou de dividir 4 800 por 2 acreditando que metade do volume "se perde" — contradiz a hipótese explícita do enunciado.

D) 4 800

✅ Correta: V_cil = 800π, V_esf = π/6, e N = 800π · (6/π) = 4 800. Aplicação direta das fórmulas com o raio da esfera corretamente identificado como ½ cm.

E) 6 400

❌ Incorreta: sai ao usar V_esf = π/8 (esquecendo o fator 4/3 da fórmula da esfera). 800π ÷ (π/8) = 6 400. Erro clássico de quem confunde a fórmula da esfera com a do "cubo de raio".

🏆 Gabarito: D — A peça cilíndrica de 800π cm³ derretida produz 4 800 esferas de π/6 cm³ cada, sem sobra de material.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a única resposta possível é 4 800 porque V_cilindro/V_esfera = 800π/(π/6) = 4 800, conta exata sem aproximações.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora "derreter um sólido em outro" — recorrente em provas de 2017, 2019 e 2022. A estrutura é sempre a mesma: dois volumes, divisão simples, π cancela.
• Generalização: sempre que dois sólidos compartilham metal por derretimento, use V_grande = N · V_pequeno. Ler diâmetro e raio com atenção é o passo que separa acerto de erro.
• Dica de eliminação rápida: se o π aparece em ambos os volumes, cancele antes de calcular — economiza 30 segundos. Alternativas que não saem como múltiplos limpos de 800 (como 1 200 e 6 400) levantam suspeita imediata.
• Conexões com outros temas: densidade e massa específica (Física), proporcionalidade entre raio e volume (V cresce com r³), e estequiometria (Química) usam a mesma lógica de "quantas porções cabem no todo".