Questão 172 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (área superficial de paralelepípedo reto retângulo, otimização entre cinco projetos)
• ⚡ Nível: Médio — exige aplicar a fórmula de área lateral + fundo cinco vezes e comparar; cálculo simples, mas com risco de erro de soma
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Resolver problemas envolvendo áreas e volumes de sólidos geométricos em contextos de planejamento e otimização
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre cinco paralelepípedos com volume de 90 m³ (90 000 L), qual tem a menor área de revestimento (paredes laterais + fundo, sem tampa)?"
• Palavras-chave decisivas: paralelepípedo reto retângulo, 90 000 L = 90 m³, revestimento interno em suas paredes e fundo, menor área de revestimento
• Armadilha típica: incluir a "tampa" no cálculo (a piscina é aberta no topo, então só conta o fundo + 4 paredes), ou trocar profundidade com largura/comprimento ao montar a fórmula
• O que a resposta precisa demonstrar: para cada projeto, calcular A = (L × C) + 2(P × L) + 2(P × C), onde P é a profundidade, L é a largura e C é o comprimento, e identificar o menor valor

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do paralelepípedo: V = P × L × C. Confirma-se que cada projeto tem 90 m³ multiplicando as três dimensões (vale conferir, mas o enunciado garante)
• Área a revestir (fundo + 4 paredes): A = (L × C) + 2(P × L) + 2(P × C). Como a piscina não tem tampa, a face superior (L × C) não entra
• Geometricamente, a forma mais econômica: para um volume fixo, o paralelepípedo de menor área superficial total tende a ser o cubo. Ao retirar a tampa, a configuração ótima é levemente diferente, mas continua "compacta"
• Comparação: basta calcular A para os cinco projetos e escolher o menor valor

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "90 000 L de água" → como 1 m³ = 1 000 L, o volume é 90 m³. Cada um dos cinco projetos respeita esse volume
• Evidência 2: "revestimento interno em suas paredes e fundo" → a área a calcular não inclui a tampa superior
• Evidência 3 (lista de projetos): dimensões (P, L, C) em metros:

- I: (1,8; 2,0; 25,0)

- II: (2,0; 5,0; 9,0)

- III: (1,0; 6,0; 15,0)

- IV: (1,5; 15,0; 4,0)

- V: (2,5; 3,0; 12,0)

• Síntese: aplicar A = LC + 2PL + 2PC para cada caso e comparar

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Conferência rápida do volume

Para cada projeto, P × L × C deve dar 90:

• I: 1,8 × 2 × 25 = 90 ✓
• II: 2 × 5 × 9 = 90 ✓
• III: 1 × 6 × 15 = 90 ✓
• IV: 1,5 × 15 × 4 = 90 ✓
• V: 2,5 × 3 × 12 = 90 ✓

Subpasso 4.2 — Área de revestimento do projeto I

Fundo: L × C = 2 × 25 = 50.

Paredes longas: 2 × (P × C) = 2 × (1,8 × 25) = 2 × 45 = 90.

Paredes curtas: 2 × (P × L) = 2 × (1,8 × 2) = 2 × 3,6 = 7,2.

A_I = 50 + 90 + 7,2 = 147,2 m².

Subpasso 4.3 — Área de revestimento do projeto II

Fundo: 5 × 9 = 45.

Paredes longas: 2 × (2 × 9) = 2 × 18 = 36.

Paredes curtas: 2 × (2 × 5) = 2 × 10 = 20.

A_II = 45 + 36 + 20 = 101 m².

Subpasso 4.4 — Área de revestimento do projeto III

Fundo: 6 × 15 = 90.

Paredes longas: 2 × (1 × 15) = 30.

Paredes curtas: 2 × (1 × 6) = 12.

A_III = 90 + 30 + 12 = 132 m².

Subpasso 4.5 — Área de revestimento do projeto IV

Fundo: 15 × 4 = 60.

Paredes longas: 2 × (1,5 × 15) = 2 × 22,5 = 45.

Paredes curtas: 2 × (1,5 × 4) = 2 × 6 = 12.

A_IV = 60 + 45 + 12 = 117 m².

Subpasso 4.6 — Área de revestimento do projeto V

Fundo: 3 × 12 = 36.

Paredes longas: 2 × (2,5 × 12) = 2 × 30 = 60.

Paredes curtas: 2 × (2,5 × 3) = 2 × 7,5 = 15.

A_V = 36 + 60 + 15 = 111 m².

Subpasso 4.7 — Comparação e escolha do mínimo

Em ordem crescente: 101 (II), 111 (V), 117 (IV), 132 (III), 147,2 (I). O menor valor é o do projeto II, com 101 m² de revestimento.

Subpasso 4.8 — Verificação conceitual

O projeto II é o mais "cúbico" dos cinco: dimensões 2 × 5 × 9, próximas em ordem de grandeza. Já o projeto I é o mais "alongado" (25 m × 2 m × 1,8 m), o que explica a maior área de paredes laterais. A intuição confirma o cálculo. ✓

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I.

❌ Incorreta: dimensões 1,8 × 2 × 25. A piscina é muito comprida e estreita: 25 m de comprimento contra 2 m de largura. As paredes longas (2 × 1,8 × 25 = 90 m²) sozinhas já equivalem a quase toda a área do projeto II. A_I = 147,2 m² é a maior das cinco.

B) II.

✅ Correta: dimensões 2 × 5 × 9. A piscina mais "compacta" da série: A_II = 45 + 36 + 20 = 101 m², a menor área de revestimento entre os cinco projetos.

C) III.

❌ Incorreta: dimensões 1 × 6 × 15. O fundo sozinho (90 m²) já consome quase a área total do projeto II, e ainda há 42 m² de paredes a somar. Total 132 m², 31 m² acima do projeto II.

D) IV.

❌ Incorreta: dimensões 1,5 × 15 × 4. O comprimento de 15 m e a largura de 4 m geram fundo de 60 m² e paredes longas pesadas (45 m²); A_IV = 117 m², 16 m² acima do projeto II.

E) V.

❌ Incorreta: dimensões 2,5 × 3 × 12. Fundo razoavelmente pequeno (36 m²), mas a profundidade de 2,5 m e o comprimento de 12 m fazem as paredes longas pesarem 60 m². A_V = 111 m², 10 m² acima do projeto II.

🏆 Gabarito: B — o projeto II tem dimensões 2 m × 5 m × 9 m, gerando área total de revestimento de 101 m², a menor entre os cinco. É a configuração mais próxima de um cubo, o que minimiza a superfície para um volume fixo.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre 101 (II), 111, 117, 132 e 147,2, o menor valor é 101, do projeto II
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de questões de otimização em paralelepípedos (caixas, piscinas, aquários). A fórmula sempre depende de quais faces serão revestidas (com ou sem tampa)
• Generalização: para um volume fixo V, o paralelepípedo aberto (sem tampa) de menor área superficial tem dimensões P : L : C ≈ 1 : 2 : 2 (forma "rasa e quadrada"). Quanto mais alongada a piscina, maior a superfície
• Dica de eliminação rápida: elimine o projeto I (muito alongado, 25 m × 2 m) e o III (fundo gigante de 90 m²) imediatamente. Entre II, IV e V, o II é o mais compacto e tem o menor valor
• Conexões com outros temas: problemas de embalagens (mínimo de papelão), área de superfície de cilindros, otimização em cálculo, planejamento arquitetônico