Questão 171 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Estatística (média aritmética e cálculo do valor necessário para atingir uma média)
• ⚡ Nível: Fácil — soma simples e subtração após calcular a meta de pontos
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Resolver problemas envolvendo o cálculo de média aritmética simples e sua aplicação para projeção de resultados
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Para igualar a média de 18 pontos por jogo (ao longo de 5 jogos), qual jogador entre os cinco precisa fazer a menor quantidade de pontos no quinto jogo?"
• Palavras-chave decisivas: média de 18 pontos por jogo, cinco jogos, menor quantidade de pontos no quinto jogo, igualar a média
• Armadilha típica: comparar apenas as maiores pontuações dos quatro primeiros jogos (esquecer que a meta é a soma 5×18 = 90) ou somar errado as pontuações de cada jogador
• O que a resposta precisa demonstrar: total alvo de 90 pontos; soma dos 4 jogos de cada jogador; subtração para encontrar quanto cada um precisa fazer no 5º jogo; identificar o menor

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Média aritmética: média = (soma dos valores) ÷ (número de valores). Se os 5 jogos devem ter média 18, a soma dos 5 jogos precisa ser 5 × 18 = 90
• Quanto falta no último valor: se já temos 4 jogos somando S, o quinto jogo precisa contribuir com 90 − S pontos para que a média dê 18
• Comparação de "quanto falta": o jogador com menor (90 − S) é aquele com maior S, ou seja, quem mais pontuou nos quatro primeiros jogos
• Verificação aritmética: somar com cuidado coluna por coluna evita troca de números, principal fonte de erro neste tipo de questão

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "média de 18 pontos por jogo… eleito o melhor do campeonato" → meta a igualar é 18 pontos/jogo em 5 jogos = 90 pontos no total
• Evidência 2 (quadro): pontuações de cada jogador nos 4 primeiros jogos:

- Jogador I: 12, 25, 20, 20

- Jogador II: 12, 12, 27, 20

- Jogador III: 14, 14, 17, 26

- Jogador IV: 15, 18, 21, 21

- Jogador V: 22, 15, 23, 15

• Evidência 3: "precisa fazer a menor quantidade de pontos no quinto jogo" → mínimo de (90 − soma_4_jogos) entre os cinco jogadores
• Síntese: somar cada linha, subtrair de 90, escolher o menor resultado

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Total alvo

Total = 5 × 18 = 90 pontos para igualar a média de 18 ao longo dos 5 jogos.

Subpasso 4.2 — Soma das pontuações dos quatro primeiros jogos

• Jogador I: 12 + 25 + 20 + 20 = 77
• Jogador II: 12 + 12 + 27 + 20 = 71
• Jogador III: 14 + 14 + 17 + 26 = 71
• Jogador IV: 15 + 18 + 21 + 21 = 75
• Jogador V: 22 + 15 + 23 + 15 = 75

Subpasso 4.3 — Pontos necessários no quinto jogo

Aplicando 90 − S para cada jogador:

• Jogador I: 90 − 77 = 13
• Jogador II: 90 − 71 = 19
• Jogador III: 90 − 71 = 19
• Jogador IV: 90 − 75 = 15
• Jogador V: 90 − 75 = 15

Subpasso 4.4 — Identificar o menor valor

A menor pontuação necessária é 13, do jogador I. Portanto, o jogador I é quem precisa marcar a menor quantidade de pontos no quinto jogo para empatar a média de 18.

Subpasso 4.5 — Verificação

Conferência da soma do jogador I: 12 + 25 = 37; 37 + 20 = 57; 57 + 20 = 77 ✓. Adicionando 13 (o que precisa fazer) chega-se a 77 + 13 = 90. Dividindo por 5: 90 ÷ 5 = 18. Confere a média desejada. ✓

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I.

✅ Correta: soma dos 4 jogos = 12 + 25 + 20 + 20 = 77; precisa de 90 − 77 = 13 pontos no quinto jogo, o menor valor entre os cinco jogadores.

B) II.

❌ Incorreta: soma = 12 + 12 + 27 + 20 = 71; precisa de 90 − 71 = 19 pontos, empatado com o jogador III no maior valor exigido. Não é o menor.

C) III.

❌ Incorreta: soma = 14 + 14 + 17 + 26 = 71; precisa de 19 pontos no quinto jogo, mesmo total exigido para o jogador II. Está longe de ser o menor.

D) IV.

❌ Incorreta: soma = 15 + 18 + 21 + 21 = 75; precisa de 90 − 75 = 15 pontos. Embora seja menor que II e III, ainda supera os 13 pontos do jogador I.

E) V.

❌ Incorreta: soma = 22 + 15 + 23 + 15 = 75; precisa de 15 pontos, igual ao jogador IV. Também maior que os 13 pontos do jogador I.

🏆 Gabarito: A — o jogador I tem o maior total nos quatro primeiros jogos (77 pontos) e por isso precisa apenas de 13 pontos no quinto jogo para empatar a média de 18 pontos por jogo.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre as cinco subtrações, 90 − 77 = 13 é o menor valor; logo, o jogador I exige menos pontos no jogo decisivo
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente apresenta problemas de média em contextos esportivos, escolares ou de produção, exigindo a manipulação direta da fórmula da média
• Generalização: para descobrir o valor que falta para uma média M ao longo de n termos, calcule M·n e subtraia a soma dos valores já conhecidos. Quem tem a maior soma parcial precisa do menor "extra"
• Dica de eliminação rápida: o jogador I, ao olhar a tabela, é o único com 25 pontos em um dos jogos (alta variância para cima) e 60 nos outros três; intuitivamente já é candidato natural ao menor "extra". Confirme só a soma de I antes de marcar
• Conexões com outros temas: média ponderada (por créditos, por horas), média geométrica em ganhos sucessivos, mediana e moda em estatística descritiva, projeções escolares de notas