Questão 169 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume de cilindro reto, relação entre raio e área da base)
• ⚡ Nível: Médio — exige aplicar a fórmula do volume e perceber que dobrar o raio quadruplica a área da base, enquanto dobrar a área da base apenas duplica
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Resolver e elaborar problemas envolvendo o cálculo de volume de figuras geométricas espaciais, em particular o cilindro reto
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre os cinco modelos de caixa-d'água cilíndricas descritas, qual tem o maior volume interno?"
• Palavras-chave decisivas: cilindro reto, profundidade P (altura), área da base Ab, dobro/metade da profundidade, dobro/metade da área da base, dobro/metade do raio da base
• Armadilha típica: tratar "dobrar o raio" como equivalente a "dobrar a área da base". Como Ab = π·r², dobrar o raio multiplica a área por 4 (não por 2). Esse é o ponto crítico que separa quem entende a relação quadrática
• O que a resposta precisa demonstrar: calcular V = Ab × P para cada modelo, considerando corretamente as transformações de raio em área da base, e identificar o maior

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do cilindro reto: V = Ab × h, onde Ab = π·r² é a área da base circular e h é a altura (aqui chamada de profundidade P)
• Efeito de escalar a profundidade: se P fica multiplicada por k, o volume também fica multiplicado por k (relação linear)
• Efeito de escalar a área da base: se Ab fica multiplicada por k, o volume também fica multiplicado por k
• Efeito de escalar o raio: se r fica multiplicado por k, então Ab = π·(k·r)² = k²·π·r² fica multiplicada por k². Isto é, dobrar o raio quadruplica a área da base e, portanto, quadruplica o volume (mantida a profundidade)
• Volume do modelo I (referência): V_I = Ab × P

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I" → V_II = (Ab/2) × (2P) = Ab × P = V_I
• Evidência 2: "modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I" → o raio passa para r/2, então a nova área da base é π·(r/2)² = π·r²/4 = Ab/4. Logo V_III = (Ab/4) × (2P) = (Ab × P)/2 = V_I/2
• Evidência 3: "modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I" → V_IV = (2·Ab) × (P/2) = Ab × P = V_I
• Evidência 4: "modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I" → o raio passa para 2r, então a nova área da base é π·(2r)² = 4·π·r² = 4·Ab. Logo V_V = (4·Ab) × (P/2) = 2·Ab × P = 2·V_I
• Síntese: o modelo V possui o dobro do volume do modelo I, sendo o único que efetivamente cresce em volume; II e IV apenas igualam I, e III diminui o volume

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Volume do modelo I (referência)

V_I = Ab × P.

Subpasso 4.2 — Volume do modelo II

Profundidade nova: 2P. Área da base nova: Ab/2.

V_II = (Ab/2) × (2P) = (Ab × P) × (1/2 × 2) = Ab × P = V_I.

Subpasso 4.3 — Volume do modelo III

Raio novo: r/2. Área da base nova: π × (r/2)² = π × r²/4 = Ab/4. Profundidade nova: 2P.

V_III = (Ab/4) × (2P) = (Ab × P) × (1/4 × 2) = (Ab × P)/2 = V_I/2.

Subpasso 4.4 — Volume do modelo IV

Profundidade nova: P/2. Área da base nova: 2·Ab.

V_IV = (2·Ab) × (P/2) = Ab × P = V_I.

Subpasso 4.5 — Volume do modelo V

Raio novo: 2r. Área da base nova: π × (2r)² = π × 4r² = 4·Ab. Profundidade nova: P/2.

V_V = (4·Ab) × (P/2) = 2·Ab × P = 2·V_I.

Subpasso 4.6 — Comparação dos volumes

• V_I = Ab × P
• V_II = Ab × P (= V_I)
• V_III = (Ab × P)/2 (= V_I/2)
• V_IV = Ab × P (= V_I)
• V_V = 2 × Ab × P (= 2·V_I) ← maior

Subpasso 4.7 — Verificação

A diferença essencial entre os modelos IV e V é que IV dobra a área da base e V dobra o raio. Como Ab depende de r², dobrar o raio multiplica a área por 4, gerando um volume duas vezes maior do que o do modelo IV. ✓

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I.

❌ Incorreta: o modelo I é o de referência. Tem volume V_I = Ab × P, igual a II e IV, e menor que V_V = 2·V_I. Não é o maior.

B) II.

❌ Incorreta: apesar de duplicar a profundidade, reduz a área da base à metade, gerando volume Ab × P, igual ao modelo I. Não supera o modelo V.

C) III.

❌ Incorreta: dobra a profundidade, mas o raio cai pela metade, fazendo a área da base virar Ab/4. Volume final = V_I/2, o menor de todos. Resposta clássica de quem ignora que área varia com r².

D) IV.

❌ Incorreta: dobra a área da base e divide a profundidade pela metade, voltando ao mesmo volume Ab × P do modelo I. É equivalente a I e II em capacidade.

E) V.

✅ Correta: dobrar o raio quadruplica a área da base (4·Ab); dividir a profundidade pela metade (P/2) reduz pela metade. O resultado líquido é volume 2·Ab × P, o dobro do volume do modelo I, sendo o maior dos cinco.

🏆 Gabarito: E — o modelo V tem volume 2·Ab × P, exatamente o dobro do modelo I e maior que todos os demais, porque dobrar o raio multiplica a área da base por 4.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: todos os modelos II, IV e I têm volume Ab × P. O III tem metade desse valor. Apenas o V atinge 2·Ab × P, e por isso é a escolha de maior capacidade
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma combinar variações de raio e altura para testar se o aluno percebe a relação quadrática entre raio e área. É um clássico de geometria espacial aplicada
• Generalização: sempre que a questão alterar o raio de um cilindro/esfera/cone, lembre-se de que a área varia com r² e o volume varia com r² (cilindro/cone) ou r³ (esfera). Dobrar o raio nunca é a mesma coisa que dobrar a área
• Dica de eliminação rápida: identifique imediatamente que II e IV são equivalentes a I (compensação perfeita) e III é menor; restam I (referência) e V. Como V tem raio dobrado, é necessariamente o maior. Marque E em segundos
• Conexões com outros temas: volume de cone (V = (1/3)·π·r²·h), volume de esfera (V = (4/3)·π·r³), escala em sólidos semelhantes, vazão e capacidade em problemas de hidráulica