Questão 167 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Porcentagem (acréscimos e descontos sucessivos, comparação de valores)
• ⚡ Nível: Médio — encadeia três operações percentuais, mas cada uma delas é direta
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Resolver e elaborar problemas envolvendo cálculo, interpretação e comparação de porcentagens em situações de consumo
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Comparado ao valor que a cliente calculou (preço promocional + 8%), o valor real cobrado pela loja (preço normal − 2%) é maior ou menor, e em quanto?"
• Palavras-chave decisivas: preço promocional R$ 1 000,00, preço normal 10% maior, desconto 2% sobre o preço normal, cliente calculou: promocional + 8%, diferença
• Armadilha típica: aplicar o desconto de 2% diretamente sobre o preço promocional (R$ 1 000), ou somar/subtrair "10% − 2% = 8%", concluindo erradamente que os dois valores são iguais. O enunciado deixa claro que o desconto é "sobre o preço normal", não sobre o promocional
• O que a resposta precisa demonstrar: calcular separadamente o valor real (loja) e o valor estimado (cliente), depois subtrair, indicando se a diferença é a maior ou para menor

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Acréscimo de p%: multiplica-se o valor original por (1 + p/100). Exemplo: aumento de 10% → multiplicar por 1,10
• Desconto de p%: multiplica-se por (1 − p/100). Exemplo: desconto de 2% → multiplicar por 0,98
• Operações sucessivas não se somam linearmente: aplicar 10% de aumento seguido de 2% de desconto NÃO equivale a 8% de aumento. O fator combinado é 1,10 × 0,98 = 1,078, equivalente a 7,8% de acréscimo, e não 8%
• Comparação de valores: sendo V_loja o valor real e V_cliente o estimado pela cliente, a "diferença" pedida é V_loja − V_cliente. Se positiva, o valor da loja é maior; se negativa, é menor

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "preço promocional… R$ 1 000,00 para pagamento somente em dinheiro" → R$ 1 000 é o valor de referência só para pagamento à vista em espécie
• Evidência 2: "preço normal, fora da promoção, é 10% maior" → preço normal = 1 000 × 1,10 = R$ 1 100,00
• Evidência 3: "para pagamento feito com o cartão de crédito da loja, é dado um desconto de 2% sobre o preço normal" → o desconto incide sobre R$ 1 100,00, não sobre R$ 1 000,00. Portanto, o valor real da loja é 1 100 × 0,98
• Evidência 4: "ela calculou que o valor a ser pago seria o preço promocional acrescido de 8%" → a cliente assumiu (incorretamente) que 1 000 × 1,08 representava o preço final
• Síntese: basta calcular V_loja = 1 100 × 0,98 e V_cliente = 1 000 × 1,08, subtrair os dois e interpretar o sinal

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Cálculo do preço normal

Preço normal = preço promocional × (1 + 10/100) = 1 000 × 1,10 = R$ 1 100,00.

Subpasso 4.2 — Cálculo do valor cobrado pela loja (com cartão)

O desconto de 2% incide sobre o preço normal:

V_loja = 1 100 × (1 − 0,02) = 1 100 × 0,98 = R$ 1 078,00.

Verificação alternativa: 2% de 1 100 = 22; 1 100 − 22 = 1 078. ✓

Subpasso 4.3 — Cálculo do valor estimado pela cliente

A cliente aplicou 8% de acréscimo direto sobre o promocional:

V_cliente = 1 000 × (1 + 8/100) = 1 000 × 1,08 = R$ 1 080,00.

Subpasso 4.4 — Diferença entre os dois valores

Diferença = V_loja − V_cliente = 1 078 − 1 080 = −2.

O sinal negativo indica que o valor cobrado pela loja é menor que o calculado pela cliente em R$ 2,00.

Subpasso 4.5 — Verificação conceitual

A cliente errou ao supor que "10% de aumento e 2% de desconto" equivaleriam a 8% de aumento. Na verdade, o fator combinado é 1,10 × 0,98 = 1,078, ou seja, 7,8% de acréscimo sobre o preço promocional. Como 7,8% < 8%, o valor real é R$ 2,00 menor: 1 000 × 1,078 = 1 078 e 1 000 × 1,08 = 1 080, confirmando a diferença de R$ 2,00 a menos. ✓

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) R$ 2,00 menor.

✅ Correta: V_loja = 1 100 × 0,98 = R$ 1 078,00; V_cliente = 1 000 × 1,08 = R$ 1 080,00. A diferença é 1 078 − 1 080 = −R$ 2,00, ou seja, o valor da loja é R$ 2,00 menor.

B) R$ 100,00 menor.

❌ Incorreta: essa diferença surgiria se o aluno comparasse o preço normal (R$ 1 100) com o preço promocional (R$ 1 000), ignorando o desconto de cartão e o acréscimo calculado pela cliente. Não corresponde aos dois valores que o enunciado pede para comparar.

C) R$ 200,00 menor.

❌ Incorreta: o aluno teria comparado, por engano, R$ 1 200 (1 000 × 1,20, supondo 10% + acréscimos) com R$ 1 000 ou outra confusão semelhante. Nenhum dos cálculos corretos resulta em R$ 200 de diferença.

D) R$ 42,00 maior.

❌ Incorreta: esse valor poderia surgir aplicando o desconto de 2% sobre o preço promocional (1 000 × 0,98 = R$ 980) e depois comparando algo nessa linha. Inverte o sentido da diferença e o valor.

E) R$ 80,00 maior.

❌ Incorreta: confunde o cálculo final com o acréscimo de 8% sobre 1 000 (que dá 80 reais a mais que o promocional). Não responde à comparação entre o que a loja cobra e o que a cliente esperava pagar.

🏆 Gabarito: A — o valor cobrado pela loja, R$ 1 078,00, é R$ 2,00 menor que o valor de R$ 1 080,00 calculado pela cliente, porque o desconto de 2% incide sobre o preço normal (R$ 1 100), e não sobre o promocional.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a operação correta é 1 000 × 1,10 × 0,98 = 1 078, contra 1 000 × 1,08 = 1 080. A diferença é exatamente R$ 2,00 a menos
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma cobrar a sutileza de que aumentos e descontos sucessivos NÃO se somam algebricamente. A diferença típica entre 1,10 × 0,98 = 1,078 e 1 + 0,10 − 0,02 = 1,08 é justamente o "calo" da questão
• Generalização: para acréscimos/descontos sucessivos, sempre multiplique fatores: (1 + a)(1 − d), nunca (1 + a − d). O resultado real é menor que a aproximação linear quando há multiplicação de aumento por desconto
• Dica de eliminação rápida: ao perceber que se trata de "10% e depois 2%" e que a cliente fez a conta linearizada, espere uma diferença pequena (R$ 2 ou outro valor de uma ou duas dezenas no máximo). Já elimina B, C e qualquer alternativa de centena de reais
• Conexões com outros temas: juros compostos × juros simples, descontos sucessivos em promoções, variação percentual encadeada em estatística e em economia