Questão 163 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Porcentagem / Média aritmética ponderada / Inequação do 1º grau
• ⚡ Nível: Médio — combina aumento percentual, média ponderada e uma inequação simples, tudo em um contexto muito próximo de uma folha de pagamento.
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Resolver problemas que envolvam porcentagens de aumento e médias ponderadas, comparando o resultado com um valor-limite.
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o maior percentual de reajuste que se pode dar aos 40 doutores para que a média mensal dos 100 professores não ultrapasse R$ 12 240, sabendo que os 60 mestres terão aumento de 25%?"
• Palavras-chave decisivas: média mensal, no máximo, não ultrapasse, 60 mestres (aumento de 25%), 40 doutores (aumento D%), R$ 12 240.
• Armadilha típica: calcular a média simples (sem ponderar pelos 60 e 40 professores), esquecer de aplicar primeiro o aumento de 25% nos mestres ou confundir "aumento percentual sobre o salário do doutor" com "aumento sobre o salário médio".
• O que a resposta precisa demonstrar: usar a média ponderada com pesos 60 e 40, aplicar 25% sobre R$ 8 000, isolar o novo salário do doutor e transformar a diferença em percentual sobre R$ 12 000.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Média ponderada: quando há n₁ valores iguais a x₁ e n₂ valores iguais a x₂, a média ponderada é (n₁·x₁ + n₂·x₂)/(n₁ + n₂). Aqui, n₁ = 60 mestres e n₂ = 40 doutores.
• Aumento percentual: um aumento de p% transforma um valor V em V·(1 + p/100). Um aumento de 25% transforma 8 000 em 8 000 × 1,25 = 10 000.
• Inequação do 1º grau: se a média deve ser ≤ 12 240, então a soma total não pode passar de 12 240 × 100 = 1 224 000 reais.
• Máximo possível: quando se quer o maior aumento permitido, a condição vira uma igualdade (o limite é atingido). O máximo percentual aparece ao igualar a média exatamente ao teto.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "60 mestres e 40 doutores" → totais fixos (100 professores) e pesos para a média ponderada.
• Evidência 2: "salários mensais dos professores mestres e dos doutores são, respectivamente, R$ 8 000,00 e R$ 12 000,00" → valores iniciais antes do aumento.
• Evidência 3: "o aumento salarial será de 25% para os mestres e precisa ainda definir o percentual de reajuste para os doutores" → o aumento dos mestres já é conhecido; só o dos doutores fica a definir.
• Evidência 4: "salário médio mensal dos professores não ultrapasse R$ 12 240,00" → teto que a média deve respeitar.
• Síntese: calcular o novo salário de cada mestre, escrever a média ponderada com o novo salário D dos doutores, resolver a inequação ≤ 12 240 e transformar D em percentual sobre R$ 12 000.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Novo salário dos mestres

Cada mestre passará a ganhar 8 000 × (1 + 25/100) = 8 000 × 1,25 = 10 000 reais por mês.

Total pago aos mestres no novo cenário: 60 × 10 000 = 600 000 reais.

Subpasso 4.2 — Condição sobre a média

Chame de D o novo salário de cada doutor. A média ponderada dos 100 professores é

Média = (600 000 + 40·D)/100 ≤ 12 240.

Multiplicando ambos os lados por 100:

600 000 + 40·D ≤ 1 224 000.

Subtraindo 600 000:

40·D ≤ 624 000.

Dividindo por 40:

D ≤ 15 600 reais.

Logo, o maior salário possível para cada doutor é 15 600 reais.

Subpasso 4.3 — Transformando em percentual de aumento

O salário atual dos doutores é 12 000 reais. O aumento máximo em reais é

15 600 − 12 000 = 3 600 reais.

Em termos percentuais sobre o valor original:

Aumento máximo = 3 600 / 12 000 = 0,30 = 30%.

Subpasso 4.4 — Verificação

Testo com 30% exato. Novo salário dos doutores: 12 000 × 1,30 = 15 600. Soma total: 600 000 (mestres) + 40 × 15 600 = 600 000 + 624 000 = 1 224 000. Dividindo por 100: 12 240. Coincide com o teto. ✓ Qualquer aumento maior que 30% romperia o teto.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 14,4.

❌ Incorreta: aparece em quem calcula o aumento sobre a média geral (não sobre o salário do doutor), ou quem usa peso 50-50 no lugar de 60-40. Não respeita a ponderação real.

B) 20,7.

❌ Incorreta: resulta de dividir 12 240 − 10 000 = 2 240 por 12 000 (ou operação aproximada), confundindo o papel dos mestres na média com o aumento dos doutores.

C) 22,0.

❌ Incorreta: vem de quem utiliza média simples (soma dos salários médios dividida por 2) e iguala a 12 240, ignorando os pesos 60 e 40.

D) 30,0.

✅ Correta: é 3 600/12 000 × 100% = 30%, exatamente o percentual que leva o salário dos doutores para 15 600 reais e a média geral para 12 240 reais, o teto permitido.

E) 37,5.

❌ Incorreta: é o percentual que levaria o doutor para 16 500 reais (12 000 × 1,375). A soma total seria 600 000 + 40 × 16 500 = 1 260 000 e a média seria 12 600 reais, estourando o limite de 12 240.

🏆 Gabarito: D — com 30% de aumento nos doutores, cada um passa a ganhar 15 600 e a média dos 100 professores fica exatamente em 12 240, o maior valor admissível.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: qualquer aumento menor que 30% deixaria a média abaixo do teto e qualquer um maior estouraria; 30% é o máximo, o que corresponde à alternativa D.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra média ponderada combinada com porcentagem em contextos de salários, preços e médias escolares, exigindo atenção aos pesos.
• Generalização: para encontrar o "aumento máximo" de uma parcela sujeito a um teto na média, substitua a média pelo teto, isole a parcela e devolva a razão de aumento.
• Dica de eliminação rápida: perceba que 30% faz o aumento de doutor subir 3 600 e, multiplicado por 40, gera exatamente 144 000 a mais, que é 100 × 1 440 — a diferença exata entre a média atual (10 800, que é 60·10 000 + 40·12 000 /100) e 12 240. Alternativas com valores abaixo de 30% deixam a média abaixo do teto e são eliminadas por otimização.
• Conexões com outros temas: juros simples e compostos, estatística descritiva, inequações lineares, problemas de otimização.