Questão 162 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções afins / Progressões aritméticas / Leitura de gráficos
• ⚡ Nível: Médio — o aluno precisa ler quatro valores no gráfico, entender que há duas séries (Adulto e Infantil) e extrapolar linearmente para um terceiro período de dez dias.
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Interpretar e analisar gráficos de barras/linhas que apresentam variação linear no tempo, fazer previsão por extrapolação e comparar com uma meta.
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Se a variação das vendas Adulto e Infantil é linear, quanto falta para a loja atingir a meta mensal de R$ 77 000 ao final do 30º dia, considerando que o gráfico mostra os valores totais dos dois setores nos dez primeiros dias e nos dias 11 a 20?"
• Palavras-chave decisivas: variação linear, mantenha a tendência, dez primeiros dias, entre o dia dez e o dia vinte, trigésimo dia, dois setores (infantil e adulto).
• Armadilha típica: tratar os valores 18 000 e 15 000 como vendas diárias (em vez de vendas acumuladas em cada bloco de 10 dias), ou esquecer de somar Adulto + Infantil, ou não fazer a extrapolação linear para o terceiro período.
• O que a resposta precisa demonstrar: somar as vendas dos dois setores por período, identificar a diminuição constante entre os períodos I (dias 1-10) e II (dias 11-20), projetar o período III (dias 21-30) pela mesma razão e comparar a soma dos três com a meta.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Variação linear no tempo: quando uma grandeza varia de forma linear, a diferença entre valores sucessivos a intervalos iguais é constante. Isso gera uma progressão aritmética de razão r.
• Progressão aritmética (PA): sequência a, a + r, a + 2r, … em que r é a diferença comum. Se conhecemos dois termos consecutivos, a razão é a diferença entre eles.
• Meta × Realizado: se a meta é M e o realizado é R, a diferença D = M − R é o quanto falta para atingir a meta (quando M > R). Se R ≥ M, a diferença é zero ou negativa.
• Leitura de gráficos com duas séries: quando há dois setores (Adulto e Infantil), cada um tem sua própria sequência; o total de vendas em cada período é a soma dos dois.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (gráfico): dois caminhos, um contínuo (Adulto) ligando (10; 18 000) a (20; 15 000) e outro tracejado (Infantil) ligando (10; 8 000) a (20; 7 000). Eixo x em dias, eixo y em reais. Os pontos mostram quanto foi vendido em cada bloco de 10 dias.
• Evidência 2: "Suponha que a variação no volume de vendas, para o período registrado, tenha se dado de forma linear" → o decréscimo é o mesmo a cada período de 10 dias: em Adulto cai R$ 3 000 e em Infantil cai R$ 1 000, por cada 10 dias.
• Evidência 3: "essa tendência se mantenha a mesma para os próximos dez dias" → dias 21 a 30 seguirão a mesma queda.
• Síntese: basta montar três períodos consecutivos para cada setor (subtraindo a razão r), somar os três períodos de cada série, somar os totais Adulto + Infantil dos três períodos e comparar com R$ 77 000.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Série Adulto

Adulto no período I (dias 1–10): 18 000. Adulto no período II (dias 11–20): 15 000.

Diferença: 18 000 − 15 000 = 3 000 reais por período (queda). Logo, razão r_A = −3 000.

Adulto no período III (dias 21–30) = 15 000 − 3 000 = 12 000 reais.

Soma Adulto nos 30 dias: 18 000 + 15 000 + 12 000 = 45 000 reais.

Subpasso 4.2 — Série Infantil

Infantil no período I (dias 1–10): 8 000. Infantil no período II (dias 11–20): 7 000.

Diferença: 8 000 − 7 000 = 1 000 reais por período (queda). Razão r_I = −1 000.

Infantil no período III (dias 21–30) = 7 000 − 1 000 = 6 000 reais.

Soma Infantil nos 30 dias: 8 000 + 7 000 + 6 000 = 21 000 reais.

Subpasso 4.3 — Total mensal previsto

Soma geral no mês = 45 000 + 21 000 = 66 000 reais.

Alternativamente, somando por período:

• Período I: 18 000 + 8 000 = 26 000
• Período II: 15 000 + 7 000 = 22 000
• Período III: 12 000 + 6 000 = 18 000

Total: 26 000 + 22 000 + 18 000 = 66 000 reais. ✓

Subpasso 4.4 — Diferença para a meta

A meta do mês é 77 000 reais. Quanto falta no final do 30º dia:

77 000 − 66 000 = 11 000 reais.

Subpasso 4.5 — Verificação

Reviso as razões: Adulto cai 3 000 a cada 10 dias; Infantil cai 1 000 a cada 10 dias. Logo, a queda total cai 4 000 a cada período. Como o primeiro período rendeu 26 000, o segundo rende 22 000 (confere) e o terceiro rende 18 000 (confere). A soma 26 000 + 22 000 + 18 000 é uma PA de razão −4 000 e soma igual a 3 × (26 000 + 18 000)/2 = 3 × 22 000 = 66 000. ✓ A diferença é 11 000.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 5 000

❌ Incorreta: resulta de esquecer o setor Infantil (45 000 Adulto + 27 000 Infantil virtual?) ou de algum erro aritmético pontual. Não coincide com o total 66 000.

B) 7 000

❌ Incorreta: surge quando o candidato soma apenas Adulto nos três períodos (45 000) e Infantil apenas nos dois primeiros (15 000), chegando a 60 000, e subtrai de 67 000 por engano. Envolve dupla distração.

C) 11 000

✅ Correta: é exatamente 77 000 − 66 000, com 66 000 = 26 000 + 22 000 + 18 000, a previsão linear dos três períodos somando Adulto e Infantil.

D) 18 000

❌ Incorreta: é o próprio total do período III isolado (12 000 + 6 000), erro de quem confunde "falta" com "quanto se vende no último período".

E) 29 000

❌ Incorreta: vem de esquecer de extrapolar o período III — se o candidato somar só 26 000 + 22 000 = 48 000 e subtrair de 77 000, encontra 29 000. Falha em aplicar a tendência linear aos últimos 10 dias.

🏆 Gabarito: C — a projeção linear dos três períodos dá 26 000 + 22 000 + 18 000 = 66 000 reais, e 77 000 − 66 000 = 11 000 reais faltantes no final do mês.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a única maneira consistente com a variação linear de ambos os setores é projetar Adulto = 12 000 e Infantil = 6 000 no terceiro período, o que leva a 66 000 e a uma falta de 11 000.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra extrapolação linear com frequência, usando gráficos de vendas, produção, temperatura ou população, quase sempre com uma meta ou objetivo.
• Generalização: para extrapolar uma tendência linear, calcule a razão (variação por intervalo) e aplique-a ao próximo intervalo. Em seguida, some todas as parcelas envolvidas antes de comparar com a meta.
• Dica de eliminação rápida: se o candidato calcular 48 000 (apenas períodos I e II), nenhuma alternativa bate com 77 000 − 48 000 = 29 000 sendo a resposta "correta" — é a E, a pegadinha. A resposta verdadeira está em levar o raciocínio até o 30º dia.
• Conexões com outros temas: PA e PG, função afim, regressão linear, leitura de gráficos de dispersão, variação proporcional.