Questão 159 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões / Divisão Euclidiana / Sequências periódicas
• ⚡ Nível: Médio — o aluno precisa identificar a periodicidade da sequência de treinos e aplicar divisão com resto para localizar a posição correta na 24ª semana
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Reconhecer padrões numéricos recorrentes e usar aritmética modular (resto da divisão) para localizar termos em sequências cíclicas
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é a sequência dos sete treinos (do 1° ao 7° dia) que o atleta realizará exatamente na 24ª semana, sabendo que o ciclo de treinos dura 13 dias e se repete indefinidamente?"
• Palavras-chave decisivas: 13 dias (ciclo completo), começa novamente (periodicidade), 24ª semana (posição procurada), ordem descrita (determinismo)
• Armadilha típica: tratar a semana como o próprio ciclo (supor que cada 7 dias o padrão se repete igual). O ciclo tem 13 dias, mas a semana tem 7 — os dois períodos não coincidem, então cada semana mostra um "pedaço diferente" do ciclo.
• O que a resposta precisa demonstrar: calcular quantos dias há em 24 semanas, dividir esse total pelo comprimento do ciclo (13) e usar o resto para saber em que posição do ciclo o atleta começa a 24ª semana, escrevendo os 7 dias a partir dali.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sequência periódica: uma sequência é periódica de período p quando a_{n+p} = a_n para todo n. Aqui, a sequência de treinos tem período p = 13 (a cada 13 dias o padrão recomeça em T₁).
• Divisão euclidiana: todo inteiro N pode ser escrito como N = p·q + r, com 0 ≤ r < p. Em sequências periódicas, o termo que ocupa a posição N é igual ao termo que ocupa a posição r (se r > 0) ou a posição p (se r = 0).
• Contagem de dias em semanas: 24 semanas completas correspondem a 24 × 7 = 168 dias. A 24ª semana começa no 169° dia (porque as primeiras 23 semanas já ocupam 23 × 7 = 161 dias, então o dia seguinte, o 162°, é o 1° dia da 24ª semana).
• Leitura do ciclo: o ciclo de 13 dias tem a forma T₁, R, R, T₂, R, R, T₃, R, T₄, R, R, T₅, R — ou seja, o 1° dia é T₁, o 2° é R, o 3° é R, o 4° é T₂, o 5° é R, o 6° é R, o 7° é T₃, o 8° é R, o 9° é T₄, o 10° é R, o 11° é R, o 12° é T₅ e o 13° é R.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "A sequência dos treinamentos deve seguir esta ordem" com 13 posições listadas → o ciclo é de exatamente 13 dias, não 7.
• Evidência 2: "o atleta começa novamente a sequência a partir do treino T₁ e segue a ordem descrita" → a sequência é estritamente periódica, sem dias extras de descanso entre ciclos.
• Evidência 3: "A sequência de treinamentos que o atleta realizará na 24ª semana" → é preciso localizar os 7 dias dessa semana dentro do ciclo longo.
• Síntese: basta descobrir qual "dia do ciclo" corresponde ao primeiro dia da 24ª semana (o 162° dia de treino), escrever os 7 dias seguintes respeitando o ciclo de 13 posições e comparar com as alternativas.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Numerando os dias da 24ª semana

As 23 primeiras semanas completam 23 × 7 = 161 dias. Portanto, a 24ª semana começa no dia 162 e termina no dia 168 (161 + 7 = 168). Precisamos descobrir, para cada um desses 7 números, qual treino (ou repouso) cai nessa posição do ciclo de 13 dias.

Subpasso 4.2 — Reduzindo cada dia módulo 13

Divido cada número de dia por 13 e olho o resto. Se o resto r for diferente de zero, o dia é a r-ésima posição do ciclo; se r = 0, é a 13ª (última) posição.

• Dia 162: 162 ÷ 13 = 12, resto 6 (pois 13 × 12 = 156 e 162 − 156 = 6). Posição 6 do ciclo → R.
• Dia 163: 163 − 156 = 7. Posição 7 → T₃.
• Dia 164: 164 − 156 = 8. Posição 8 → R.
• Dia 165: 165 − 156 = 9. Posição 9 → T₄.
• Dia 166: 166 − 156 = 10. Posição 10 → R.
• Dia 167: 167 − 156 = 11. Posição 11 → R.
• Dia 168: 168 − 156 = 12. Posição 12 → T₅.

Subpasso 4.3 — Escrevendo a sequência da 24ª semana

Colando os sete resultados na ordem do 1° ao 7° dia da 24ª semana:

R, T₃, R, T₄, R, R, T₅.

Subpasso 4.4 — Verificação cruzada

Confiro somando treinos: no ciclo completo aparecem 5 treinos (T₁ a T₅) e 8 descansos (8 R's). Na minha resposta apareceram 3 treinos (T₃, T₄, T₅) e 4 descansos, totalizando 7 — bate com uma semana de 7 dias. Além disso, a sequência termina com T₅ no dia 168 e no dia 169 (próxima segunda-feira) cairia no resto 0 → posição 13 → R, o que faz sentido porque o novo ciclo só recomeça em T₁ no dia 170 (resto 1). Tudo consistente.

Comparando "R T₃R T₄R R T₅." com as alternativas:

• A) T₃R T₄R R T₅R. → começa em T₃ (posição 7), não em R (posição 6). Erro de deslocamento de 1 dia.
• B) R T₃R T₄R R T₅. → idêntica ao resultado.
• C) R T₄R R T₅R T₁. → faltou o T₃ e já inclui T₁ do próximo ciclo.
• D) R R T₅R T₁R R. → começa muito adiante, já no final do ciclo.
• E) R T₅R T₁R R T₂. → mistura final de um ciclo com início do seguinte, mas parte de uma posição errada.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) T₃R T₄R R T₅R.

❌ Incorreta: essa seria a sequência se a 24ª semana começasse no dia de número igual a 163 (resto 7 → T₃), o que corresponderia a dizer que as 23 semanas anteriores somaram 162 dias. Como 23 × 7 = 161, o erro é exatamente um dia, típico de quem esquece que o "dia 1" é o primeiro dia da primeira semana e não o dia "zero".

B) R T₃R T₄R R T₅.

✅ Correta: é a leitura das posições 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 do ciclo de 13 dias, e corresponde aos dias 162 a 168, que são exatamente os 7 dias da 24ª semana.

C) R T₄R R T₅R T₁.

❌ Incorreta: pula T₃ e já inclui o início do ciclo seguinte (T₁). Seria a sequência adequada a partir do dia de resto 8 até o dia de resto 1 do próximo ciclo, ou seja, em torno do dia 164; mas o início da 24ª semana é o dia 162, dois dias antes.

D) R R T₅R T₁R R.

❌ Incorreta: essa sequência pega o final do ciclo (posições 10, 11, 12, 13) e começa um novo ciclo (posições 1, 2, 3). Corresponderia a começar uma semana no dia 166, isto é, seria a 24ª semana apenas se as semanas anteriores tivessem somado 165 dias, contando errado em 4 dias.

E) R T₅R T₁R R T₂.

❌ Incorreta: só faz sentido se a semana começasse no dia de resto 11 (dia 167) e pulasse T₃ e T₄. Além de violar a ordem do ciclo, o cálculo de 23 × 7 está completamente errado.

🏆 Gabarito: B — porque 23 × 7 = 161 dias completam as 23 primeiras semanas e os dias 162 a 168 correspondem, no ciclo de 13 dias, às posições 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, gerando exatamente R, T₃, R, T₄, R, R, T₅.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a única sequência que respeita o ciclo de 13 dias e começa no 162° dia de treino (primeiro dia da 24ª semana) é R T₃R T₄R R T₅.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra frequentemente sequências cíclicas (treinos, sinais de trânsito, calendários, notas musicais) nas quais o aluno precisa descobrir "em qual posição do ciclo está o dia N" usando divisão com resto.
• Generalização: para sequências periódicas de período p, a posição do N-ésimo termo é dada por r = N mod p (com a convenção de que r = 0 representa a p-ésima posição). Essa é a ferramenta-mestre.
• Dica de eliminação rápida: conte quantos treinos e quantos R's aparecem em cada alternativa. Se alguma não tiver 3 treinos distintos em ordem crescente (T₃, T₄, T₅) ou mistura T₁ com T₅, ela precisa ser verificada com atenção — mas, acima de tudo, faça 23 × 7 = 161 e confira a posição inicial.
• Conexões com outros temas: aritmética modular, PA e PG, sequências recursivas, função periódica (trigonométrica).