Questão 158 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (vértice de função quadrática para identificar valor máximo) e modelagem em contexto epidemiológico
• ⚡ Nível: Fácil — exige apenas localizar o vértice de p(t) = −t² + 10t + 24 (parábola com concavidade para baixo) e identificar em qual intervalo das propostas cai o valor de t do máximo
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Função do 2º grau aplicada a contexto real (saúde pública), localização do vértice e leitura de intervalos
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Em qual mês t do intervalo 1 ≤ t ≤ 12 a função p(t) = −t² + 10t + 24 assume seu valor máximo? Em qual proposta esse mês está incluído?"
• Palavras-chave decisivas: p(t) = −t² + 10t + 24, t natural de 1 a 12, maior quantidade de infectados, período que englobe o mês
• Armadilha típica: (1) calcular as raízes em vez do vértice (raízes dão onde p(t) = 0, não onde é máximo); (2) confundir a fórmula do vértice (t_v = −b/(2a)) e errar o sinal; (3) avaliar p(t) num único valor sem reconhecer que a parábola tem concavidade para baixo (a = −1 < 0); (4) escolher o intervalo errado por confundir t = 5 com t = 6.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar a = −1, b = 10 e c = 24, calcular t_v = −10/(2·(−1)) = 5, verificar p(5) = 49 (máximo) e localizar t = 5 no intervalo III (5 ≤ t ≤ 6).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função quadrática f(t) = at² + bt + c: representa uma parábola. Se a > 0, concavidade para cima e existe ponto de mínimo; se a < 0, concavidade para baixo e existe ponto de máximo. Em p(t) = −t² + 10t + 24 temos a = −1 < 0, logo há máximo.
• Coordenadas do vértice: t_v = −b/(2a) e p(t_v) = c − b²/(4a) (ou simplesmente substituir t_v na função). O vértice é o ponto de máximo (ou mínimo) da parábola.
• Domínio discreto: o problema restringe t aos números naturais de 1 a 12 (meses do ano). Se t_v for natural e estiver dentro do intervalo, o máximo discreto coincide com o vértice. Se t_v não for inteiro, basta avaliar p nos dois inteiros mais próximos.
• Intervalos das propostas: I (meses 1-2), II (3-4), III (5-6), IV (7-9), V (10-12). A proposta correta é a que contém o mês do máximo (não a que tem maior média ou maior soma).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "p(t) = −t² + 10t + 24, sendo t um número natural, variando de 1 a 12" → função quadrática discreta, com a = −1, b = 10, c = 24.
• Evidência 2: "que englobe o mês em que [...] há a maior quantidade de infectados" → procurar o t que maximiza p(t), não a soma ou a média.
• Evidência 3 (lista de propostas): I (1-2), II (3-4), III (5-6), IV (7-9), V (10-12) → cada proposta tem um intervalo de meses; a correta deve conter o mês de maior infectados.
• Síntese: calcule t_v pelo vértice da parábola, identifique o mês de máximo (deve ser inteiro entre 1 e 12) e localize a proposta que contém esse mês.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar coeficientes da parábola

A função p(t) = −t² + 10t + 24 está na forma at² + bt + c com:

a = −1

b = 10

c = 24

Como a = −1 < 0, a parábola tem concavidade para baixo, ou seja, existe um valor máximo no vértice.

Subpasso 4.2 — Calcular a abscissa do vértice

A coordenada t do vértice é dada por:

t_v = −b / (2a) = −10 / (2 · (−1)) = −10 / (−2) = 5

Portanto, o mês t = 5 (maio) é onde p(t) atinge seu valor máximo. Como 5 é natural e está dentro do intervalo 1 ≤ t ≤ 12, é também o máximo do problema discreto.

Subpasso 4.3 — Calcular o valor máximo de p(t)

Substituindo t = 5 em p(t):

p(5) = −(5)² + 10·5 + 24 = −25 + 50 + 24 = 49

Logo, em maio (t = 5) há 49 pessoas infectadas — o pico do ano segundo o modelo.

Subpasso 4.4 — Verificação por valores adjacentes

p(4) = −16 + 40 + 24 = 48

p(5) = −25 + 50 + 24 = 49 (máximo)

p(6) = −36 + 60 + 24 = 48

Confirma que t = 5 é o máximo, com p(4) = p(6) = 48 (simetria em torno do vértice).

Subpasso 4.5 — Identificar a proposta correta

O mês t = 5 deve estar contido no intervalo da proposta. Conferindo:

• I: 1 ≤ t ≤ 2 → não inclui 5;
• II: 3 ≤ t ≤ 4 → não inclui 5;
• III: 5 ≤ t ≤ 6 → inclui 5 ✓;
• IV: 7 ≤ t ≤ 9 → não inclui 5;
• V: 10 ≤ t ≤ 12 → não inclui 5.

A proposta que contém o mês de pico (t = 5) é a III.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I.

❌ Incorreta: corresponde aos meses 1-2 (janeiro/fevereiro). p(1) = −1 + 10 + 24 = 33 e p(2) = −4 + 20 + 24 = 40 — números muito abaixo do máximo (49). Quem marca isso provavelmente confundiu o início do ano com o pico ou não calculou o vértice.

B) II.

❌ Incorreta: meses 3-4. p(3) = −9 + 30 + 24 = 45 e p(4) = 48. Embora estejam mais próximos do máximo, ainda são valores menores que p(5) = 49. Esse erro vem de não usar a fórmula do vértice e parar a análise antes do mês 5.

C) III.

✅ Correta: o intervalo 5 ≤ t ≤ 6 inclui o mês t = 5, em que p(t) = 49 atinge o máximo do ano. É a única proposta que engloba o pico de infectados.

D) IV.

❌ Incorreta: meses 7-9. p(7) = 45, p(8) = 40, p(9) = 33 — todos abaixo do máximo. Quem marca essa alternativa pode ter usado a fórmula errada do vértice (por exemplo, t_v = b/(2a) sem o sinal negativo, dando t_v = 10/(−2) = −5 e errando para o lado oposto, ou ainda confundido raízes com vértice).

E) V.

❌ Incorreta: meses 10-12 representam o final do ano, em que a função p(t) já caiu bastante (p(10) = 24, p(12) = −0 + 120 + 24... espera, vou refazer: p(12) = −144 + 120 + 24 = 0). Em dezembro a quantidade de infectados pelo modelo é zero — o oposto do máximo. Erro grave de orientação na parábola.

🏆 Gabarito: C — Como t_v = −b/(2a) = 5, o mês de pico é maio (t = 5), que está contido no intervalo da proposta III (5 ≤ t ≤ 6).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: o vértice de p(t) = −t² + 10t + 24 está em t_v = 5, com p(5) = 49 (máximo do ano). A proposta que contém esse mês é a III.
• Padrão de cobrança: funções quadráticas no ENEM aparecem em contextos como saúde, balística, agronomia e economia. Quase sempre pedem o vértice (máximo ou mínimo), não as raízes.
• Generalização: identifique se a parábola tem máximo (a < 0) ou mínimo (a > 0) e use t_v = −b/(2a). Para domínio discreto, basta verificar se t_v é inteiro; caso contrário, avalie nos inteiros adjacentes.
• Dica de eliminação rápida: o coeficiente de t é 10 e o de t² é −1, então o vértice está em t = 5 — basta lembrar a fórmula. Imediatamente sobra a alternativa que tem 5 no intervalo: III.
• Conexões com outros temas: raízes da equação quadrática (fórmula de Bhaskara), eixo de simetria da parábola, modelagem epidemiológica (curvas SIR, picos de contágio), problemas de otimização (lucro máximo, custo mínimo, área máxima).