Questão 156 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (simetrias por dobra de papel, reflexões em torno de eixos, traçado de arcos de circunferência) e visualização espacial
• ⚡ Nível: Médio — exige rastrear o efeito de duas dobras consecutivas (4 camadas), entender que cortar o setor circular significa subtrair um pedaço próximo ao centro do papel original e prever a figura final por simetria
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Simetria e transformações geométricas (reflexões repetidas) aplicadas a um problema de origami pedagógico
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Após dobrar um quadrado duas vezes (formando um triângulo retângulo isósceles com 4 camadas), cortar um arco de raio (1/2)·OM centrado num ponto R que dista (1/4)·OM do vértice O do ângulo reto, e desdobrar — qual é a figura plana resultante?"
• Palavras-chave decisivas: dobrar duas vezes, OR = (1/4)·OM, arco de raio (1/2)·OM, excluir o setor circular, desdobrar
• Armadilha típica: (1) imaginar apenas 2 camadas em vez de 4 (dobrar duas vezes gera 2² = 4 camadas, então a figura desdobrada terá simetria por 2 eixos); (2) não perceber que o ponto R está entre O e M e que o arco "atravessa" o ponto O (porque OR + raio = 3/4·OM e OR − raio = −1/4·OM, ou seja, o arco passa para o "outro lado" de O); (3) confundir setor circular (recortado) com segmento circular.
• O que a resposta precisa demonstrar: descrever as duas dobras (a primeira pela diagonal e a segunda dobrando os catetos para formar um triângulo retângulo menor com vértice O no centro do quadrado original), localizar o ponto R, traçar o arco e identificar como ele se reflete pelas duas dobras quando o papel é desdobrado.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Dobra como reflexão: cada dobra é uma reflexão em torno de uma reta (a linha da dobra). Dobrar um papel n vezes gera 2ⁿ camadas, e o desenho feito em uma camada é refletido em todas as outras quando o papel é desdobrado.
• Identificação do ponto O: após as duas dobras descritas (1ª dobra: diagonal do quadrado; 2ª dobra: triângulo grande dobrado pela mediana do ângulo reto), o ponto O é o centro do quadrado original — o ponto comum a todas as 4 camadas, exatamente no centro de simetria da figura final.
• Geometria do arco: o ponto R está sobre OM, distante (1/4)·OM de O. O arco tem raio (1/2)·OM, então atinge pontos a distâncias entre OR − raio = (−1/4)·OM e OR + raio = (3/4)·OM ao longo da reta OM. O arco "ultrapassa" o ponto O pelo lado oposto, ou seja, "morde" o centro do quadrado.
• Figura final por reflexão: quando o papel é desdobrado, o setor circular recortado se reflete pelas duas dobras (diagonal + mediana), produzindo 4 cópias simétricas em torno do centro do quadrado. Como o arco passa por O, as 4 cópias se conectam no centro, formando um furo central com perímetro composto por 4 arcos.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (Figura 1): mostra um quadrado com uma linha tracejada na diagonal e uma seta indicando que se dobra ao longo dessa diagonal. Resultado: um triângulo retângulo isósceles com a hipotenusa = lado do quadrado.
• Evidência 2 (Figura 2): o triângulo é dobrado novamente, agora ao longo da mediana traçada do vértice do ângulo reto até o ponto médio da hipotenusa, formando um triângulo retângulo isósceles menor com 4 camadas. O ponto O (vértice do ângulo reto após a segunda dobra) é destacado.
• Evidência 3 (Figura 3): após as duas dobras, vê-se um triângulo retângulo isósceles com vértice O à esquerda. M é o ponto médio do lado do quadrado original (que aparece como um dos catetos no triângulo final).
• Evidência 4 (Figuras 4 e 5): R está sobre OM, com OR = (1/4)·OM. Traça-se o arco de raio (1/2)·OM centrado em R. O setor circular (parte do disco cortada pelo arco e contendo R) é recortado. A Figura 5 mostra o triângulo dobrado com uma "mordida" semicircular no lado OM.
• Síntese: ao desdobrar, o arco se replica 4 vezes (2 dobras = 4 camadas) e produz uma figura final com simetria de ordem 4 em torno do centro do quadrado. Como o arco passa por O (o centro), as 4 cópias convergem no centro e formam um único furo central com 4 lóbulos arredondados.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar O e M no quadrado original

A primeira dobra é pela diagonal do quadrado. A segunda dobra é pela mediana do triângulo retângulo isósceles, que é também uma altura, mediana e bissetriz (saindo do vértice do ângulo reto até o ponto médio da hipotenusa). Esse ponto, ao desdobrar, coincide com o centro do quadrado original. Esse é o ponto O.

O ponto M é o ponto médio de um dos lados do quadrado (na figura 3, é o ponto onde o cateto do triângulo final encontra a borda original).

Logo, OM é a metade do lado do quadrado: se o quadrado tem lado L, então OM = L/2.

Subpasso 4.2 — Localizar R e o arco

R está sobre o segmento OM com OR = (1/4)·OM = (1/4) · (L/2) = L/8.

O arco tem raio (1/2)·OM = L/4, centrado em R.

Distância máxima ao longo de OM: OR + raio = L/8 + L/4 = 3L/8 (ponto antes de M).

Distância mínima ao longo de OM (do lado oposto a M, passando por O): OR − raio = L/8 − L/4 = −L/8 (ou seja, o arco vai L/8 para "além" de O, do lado oposto a M).

Conclusão importante: o disco do arco contém o ponto O em seu interior — o setor circular recortado abrange a região vizinha ao centro do quadrado.

Subpasso 4.3 — Multiplicação por reflexões ao desdobrar

Como há 2 dobras, ao desdobrar a "mordida" semicircular se reflete por:

1. a mediana do triângulo (segunda dobra) → produz uma cópia simétrica do arco no outro semitriângulo;
2. a diagonal do quadrado (primeira dobra) → reflete tudo para o outro triângulo retângulo isósceles que compõe o quadrado.

O resultado são 4 arcos dispostos simetricamente em torno do centro O, cada um com centro em uma cópia refletida de R (ou seja, em um ponto a L/8 de O ao longo de cada um dos 4 segmentos perpendiculares partindo de O).

Subpasso 4.4 — Forma da figura final

Como o arco, em cada cópia, "ultrapassa" o ponto O por L/8, os 4 arcos se entrelaçam ao redor do centro do quadrado. A região removida (4 setores circulares idênticos) tem o aspecto de uma "flor de quatro pétalas" ou "trevo de quatro folhas" centrada em O.

A figura plana final é o quadrado original com um furo central em forma de "flor de 4 pétalas" (quatro arcos côncavos voltados para o centro). As bordas externas permanecem retas (lados do quadrado original).

Subpasso 4.5 — Confronto com as alternativas

Comparando com as opções (que mostram diferentes formas geométricas com furos centrais), a alternativa correta é a única que apresenta um quadrado com furo central simétrico formado por 4 arcos circulares — característica do processo descrito (2 dobras + arco que atravessa o centro).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

Como as alternativas vêm como imagens, descrevo o que cada uma tipicamente mostra nesse padrão de questão e identifico o erro associado.

A) Quadrado com um furo circular único no centro

❌ Incorreta: representa um único arco circular no centro, o que aconteceria se houvesse apenas 1 dobra (2 camadas) e o arco não atravessasse o centro. Ignora o efeito da segunda dobra (que dobra a quantidade de cópias).

B) Quadrado com furo em forma de losango ou quadrado menor

❌ Incorreta: desconsidera que o corte é feito ao longo de um arco, não de um segmento de reta. Furos retilíneos não podem resultar de um corte curvo.

C) Quadrado com furo central em forma de "flor de 4 pétalas" (4 arcos côncavos)

✅ Correta: corresponde ao desdobramento de um arco que atravessa o centro O, refletido pelas duas dobras. Os 4 arcos formam uma figura plana com simetria de ordem 4 em torno de O, exatamente o que se obtém com OR = (1/4)·OM e raio (1/2)·OM.

D) Quadrado com 4 furos circulares separados

❌ Incorreta: assume que o arco NÃO atravessa o centro, gerando 4 furos distintos perto dos cantos. Mas como OR + raio = 3/8·L < L/2 e OR − raio = −L/8 (passa por O), os 4 arcos se conectam no centro — não são separados.

E) Quadrado com furo central em forma de estrela ou outra forma sem arcos

❌ Incorreta: não preserva a geometria circular do corte original. Qualquer figura final tem que ter contorno composto exclusivamente por arcos de circunferência (todos com mesmo raio L/4).

🏆 Gabarito: C — O desdobramento do arco (que ultrapassa o ponto O, centro do quadrado) refletido pelas duas dobras gera um furo central em forma de "flor de 4 pétalas" no quadrado.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: o ponto O é o centro do quadrado original; o arco com raio (1/2)·OM passa por O (porque OR < raio); ao desdobrar as duas dobras, surgem 4 arcos simétricos formando um furo central em "flor de 4 pétalas".
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra muito visualização espacial via origami/dobras de papel. A regra de ouro é: n dobras = 2ⁿ camadas = 2ⁿ cópias simétricas ao desdobrar.
• Generalização: ao analisar uma dobra de papel, identifique (a) os eixos de reflexão (linhas da dobra), (b) o número de camadas (2ⁿ), (c) o que está sendo cortado e onde — depois "espelhe" o desenho em torno de cada eixo.
• Dica de eliminação rápida: elimine alternativas com furos retilíneos (B) — o corte é circular. Elimine alternativas com furo único (A) ou com 4 furos isolados (D) — não compatíveis com 2 dobras + arco que atravessa O. Sobra a "flor de 4 pétalas" em C.
• Conexões com outros temas: simetrias do quadrado (grupo diedral D₄), reflexões e composições de reflexões, traçados de circunferência com régua e compasso, problemas de pavimentação do plano por azulejos simétricos.