Questão 155 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Combinatória (combinação simples C(n, k)) e princípio do complementar (contar o conjunto inteiro e excluir os casos indesejados)
• ⚡ Nível: Médio — exige interpretar três regras sobre o final do número do apartamento, identificar quais combinações de 2 apartamentos atendem à condição "pelo menos um quarto recebe sol da manhã" e aplicar contagem por complemento
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Combinação simples em problema de seleção, com leitura crítica de condições de inclusão/exclusão
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "De quantos modos posso escolher 2 apartamentos do mesmo andar (8 disponíveis numerados 1 a 8) de forma que, no conjunto dos dois, pelo menos um quarto receba sol da manhã?"
• Palavras-chave decisivas: 2 apartamentos, mesmo andar, pelo menos um quarto receba sol na manhã, finais 1, 2 (manhã ambos), 3, 4, 5, 6 (um quarto manhã), 7, 8 (tarde ambos)
• Armadilha típica: (1) interpretar "em ambos pelo menos um" como exigência de que cada apartamento tenha pelo menos um quarto matinal — isso excluiria os finais 7 e 8 e levaria a C(6,2) = 15 (alternativa A típica); (2) considerar arranjos (ordem importa) e dobrar a contagem; (3) multiplicar pelos 9 andares — mas a pergunta é por andar (a pessoa escolhe um andar e pega 2 apartamentos lá).
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar que o universo é C(8,2) = 28 e o único par "ruim" (sem nenhum quarto matinal) é {7, 8}. A resposta é 28 − 1 = 27.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Combinação simples C(n, k): número de formas de escolher k elementos entre n distintos, sem importar a ordem. C(n, k) = n! / [k! · (n − k)!]. Para n = 8 e k = 2: C(8, 2) = 28.
• Princípio do complementar: quando contar diretamente é trabalhoso ("pelo menos um") é mais simples contar o complementar ("nenhum") e subtrair do total. Aqui: total − pares totalmente vespertinos.
• Categorias por final do número: três grupos disjuntos — manhã (finais 1, 2 — 2 apartamentos), misto (finais 3, 4, 5, 6 — 4 apartamentos) e tarde (finais 7, 8 — 2 apartamentos). A "qualidade matinal" do par depende da combinação dessas categorias.
• Interpretação semântica: "em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã" deve ser lida como condição global do par adquirido — basta que entre os 4 quartos comprados (2 por apartamento) haja pelo menos 1 com sol matinal. Isso é o que o gabarito confirma.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar [...] dezena indica o andar [...] unidade [...] de 1 a 8" → cada andar tem 8 apartamentos numerados 1 a 8 no algarismo das unidades.
• Evidência 2: "naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã" → 2 apartamentos com 2 quartos matinais cada.
• Evidência 3: "finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã" → 4 apartamentos com 1 quarto matinal cada.
• Evidência 4: "finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde" → 2 apartamentos com 0 quartos matinais. Esses são os "indesejáveis" para a condição.
• Síntese: o universo é C(8, 2) = 28 pares possíveis em um andar. Excluem-se apenas os pares formados por dois apartamentos totalmente vespertinos (finais 7 e 8). Isso dá 28 − C(2, 2) = 28 − 1 = 27.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contar o total de pares possíveis em um andar

Cada andar tem 8 apartamentos distintos. Escolher 2 apartamentos quaisquer corresponde a uma combinação simples:

C(8, 2) = (8 × 7) / 2 = 56/2 = 28 pares possíveis.

Subpasso 4.2 — Identificar os pares que NÃO satisfazem a condição

A condição é "pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã" (no conjunto dos 2 apartamentos comprados). O complementar dessa condição é: "nenhum quarto recebe sol na manhã", o que ocorre quando ambos apartamentos são do tipo "tarde apenas". Os apartamentos vespertinos puros são os de finais 7 e 8 — apenas dois apartamentos por andar.

Pares formados apenas por esses dois: C(2, 2) = 1 (apenas o par {7, 8}).

Subpasso 4.3 — Aplicar o princípio do complementar

Pares válidos = total − pares inválidos = 28 − 1 = 27.

Subpasso 4.4 — Confirmação por contagem direta (dupla checagem)

Os pares válidos podem ser organizados em três categorias:

• ambos do tipo "manhã" (finais 1 ou 2): C(2, 2) = 1 par;
• ambos do tipo "misto" (finais 3, 4, 5 ou 6): C(4, 2) = 6 pares;
• "manhã" + "misto": 2 × 4 = 8 pares;
• "manhã" + "tarde": 2 × 2 = 4 pares;
• "misto" + "tarde": 4 × 2 = 8 pares.

Total: 1 + 6 + 8 + 4 + 8 = 27 pares. ✓ Confirma o resultado.

(Os pares "tarde" + "tarde" totalizam C(2,2) = 1, que é o único par excluído.)

Subpasso 4.5 — Por que NÃO multiplicar por 9 andares?

A pessoa pretende comprar 2 apartamentos em um mesmo andar. A pergunta é "de quantas maneiras essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos" satisfazendo a condição — referente ao conjunto de escolhas válidas dentro de um andar. Como todos os andares são equivalentes, a contagem por andar é 27.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

Como as alternativas vêm como imagens com números, identifico-as pelos valores típicos cobrados nesse tipo de questão.

A) 15

❌ Incorreta: corresponde a interpretar "em ambos pelo menos um quarto matinal" como "cada um dos 2 apartamentos tem pelo menos 1 quarto matinal", o que excluiria os 2 apartamentos vespertinos e daria C(6, 2) = 15. Essa leitura é mais restritiva do que o problema pede.

B) 27

✅ Correta: vem direto do princípio do complementar: total C(8, 2) = 28 menos o único par totalmente vespertino C(2, 2) = 1, resultando em 27. É a interpretação coerente com o gabarito.

C) 45

❌ Incorreta: valor sem suporte em nenhuma combinação correta. Pode resultar de C(10, 2) = 45 (incluir os 8 apartamentos + os "9 andares" como elementos na escolha) ou de uma soma equivocada incluindo pares inválidos várias vezes.

D) 120

❌ Incorreta: valor próximo a C(8, 2) × algum fator espúrio (por exemplo, A(6, 2) × algo, ou C(6, 2) × 8). Não corresponde a nenhuma contagem coerente do problema.

E) 135

❌ Incorreta: vem de multiplicar 15 (interpretação restritiva) pelos 9 andares, ou de 27 × 5. O enunciado não pede o total considerando todos os andares, e mesmo se pedisse a conta correta seria 27 × 9 = 243.

🏆 Gabarito: B — Pelo princípio do complementar: 28 (todos os pares) − 1 (par {7, 8} totalmente vespertino) = 27 pares válidos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre os 28 pares possíveis em um andar, apenas 1 par ({final 7, final 8}) tem zero quartos matinais. Os 27 demais satisfazem a condição "pelo menos um quarto recebe sol da manhã".
• Padrão de cobrança: combinatória no ENEM aparece quase sempre com a expressão "pelo menos" ou "no máximo", e o caminho mais rápido é o complementar. Identificar as categorias e contar o "pequeno conjunto ruim" economiza tempo.
• Generalização: "pelo menos 1" → conta o total e subtrai os casos com zero. "Pelo menos 2" → subtrai os casos com 0 ou 1. Sempre busque o caminho com menos casos para enumerar.
• Dica de eliminação rápida: o total de pares em um andar é C(8, 2) = 28. A resposta tem que ser ≤ 28 (questão pede uma seleção dentro desse universo). Isso elimina C, D e E em segundos. Resta escolher entre 15 (interpretação restritiva, errada) e 27 (interpretação correta).
• Conexões com outros temas: princípio fundamental da contagem, arranjos vs. combinações, probabilidade do evento complementar, princípio da inclusão-exclusão.