Questão 153 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume do cone) e Porcentagem (redução percentual aplicada a uma grandeza tridimensional)
• ⚡ Nível: Médio — exige a fórmula V = (1/3)π·r²·h, montagem da equação que iguala o novo volume a 81% do original e extração de raiz quadrada exata
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Cálculo de volume de sólido de revolução com restrição percentual e proporção entre as dimensões
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Mantida a altura de 10 cm, qual deve ser o raio da base de um cone cujo volume é 19% menor que o de um cone com raio 4 cm e altura 10 cm?"
• Palavras-chave decisivas: diâmetro 8 cm (ou seja, raio = 4 cm), altura 10 cm, 19% menor, mesmo formato, altura mantida
• Armadilha típica: (1) usar o diâmetro 8 cm como raio (esquecer de dividir por 2); (2) reduzir o raio em 19% em vez de reduzir o volume em 19% — como o volume varia com o quadrado do raio, esses procedimentos dão respostas distintas; (3) confundir 19% menor com 19% do original (que seria reduzir para 19%, e não 81%).
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar V_novo = 0,81 · V_original, isolar r² e extrair raiz quadrada para obter r exato.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do cone circular reto: V = (1/3) · π · r² · h, onde r é o raio da base e h a altura. O fator (1/3) vem da relação entre cone e cilindro de mesma base e altura.
• Diâmetro × raio: o diâmetro D é o dobro do raio (r = D/2). No problema D = 8 cm → r = 4 cm. Trocar D por r é o engano mais comum — leva a um volume 4 vezes maior.
• Redução percentual: "19% menor" significa multiplicar o valor original por (1 − 0,19) = 0,81. O fator 0,81 é central porque é o quadrado de 0,9, o que resulta em raiz exata.
• Variação não-linear do volume com o raio: mantida a altura, V ∝ r². Logo, se o raio passa de r₁ para r₂, o volume é multiplicado por (r₂/r₁)². Reduzir o volume a 81% equivale a reduzir o raio na razão √0,81 = 0,9.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (figura): a figura mostra um cone com a base voltada para cima — um disco circular indicado por "8 cm" no diâmetro — e o vértice apontando para baixo. À direita, uma seta vertical indica "10 cm" como altura do cone.
• Evidência 2: "diâmetro da base e altura iguais a 8 cm e 10 cm" → r₁ = 4 cm e h = 10 cm.
• Evidência 3: "produzir esse mesmo tipo de chocolate com um volume 19% menor [...] no mesmo formato de cone circular reto com altura de 10 cm" → V₂ = 0,81 · V₁ e h₂ = h₁ = 10 cm. Apenas o raio muda.
• Síntese: monte V₂ = 0,81 · V₁ usando a fórmula do cone, simplifique (π e h se cancelam, sobra apenas r²), extraia raiz e obtenha r₂.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o volume original

Com r₁ = 4 cm e h = 10 cm:

V₁ = (1/3) · π · r₁² · h = (1/3) · π · 4² · 10 = (1/3) · π · 16 · 10 = 160π/3 cm³

(Não é necessário calcular o valor numérico final, pois π e o fator 1/3 vão se cancelar nas próximas etapas.)

Subpasso 4.2 — Expressar o volume novo

V₂ = 81% de V₁ = 0,81 · (160π/3) = 129,6π/3 cm³

Subpasso 4.3 — Igualar à fórmula do volume com o novo raio

V₂ = (1/3) · π · r₂² · h = (1/3) · π · r₂² · 10 = 10π · r₂² / 3

Igualando:

10π · r₂² / 3 = 129,6π / 3

Multiplicando ambos os lados por 3 e dividindo por π:

10 · r₂² = 129,6

r₂² = 12,96

Subpasso 4.4 — Extrair raiz quadrada

r₂ = √12,96

Observe que 12,96 = 1296/100, e √1296 = 36 (pois 36² = 1296), enquanto √100 = 10. Logo:

r₂ = 36/10 = 3,6 cm

Outra forma de ver: 0,81 = 0,9², então a razão entre os raios é √0,81 = 0,9, e r₂ = 0,9 · r₁ = 0,9 · 4 = 3,6 cm. ✓

Subpasso 4.5 — Verificação

V₂ = (1/3) · π · 3,6² · 10 = (1/3) · π · 12,96 · 10 = 129,6π/3 cm³ = 0,81 · 160π/3 = 0,81 · V₁ ✓

A redução de 19% é confirmada (V₂/V₁ = 0,81).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1,52.

❌ Incorreta: valor próximo a √(2,31), que não corresponde a nenhuma redução coerente. Pode ter surgido de uma divisão equivocada (por exemplo, usar 19/12,5 sem fundamento). Não passa pela equação 0,81 · V₁ = V₂.

B) 3,24.

❌ Incorreta: corresponde a reduzir o raio em 19% (4 × 0,81 = 3,24), e não reduzir o volume em 19%. Esse erro ignora que V ∝ r²: reduzir o raio em 19% reduz o volume em 1 − 0,81² ≈ 34%, muito mais do que os 19% pedidos.

C) 3,60.

✅ Correta: vem direto de r₂ = √12,96 = 3,6 cm, o que mantém a redução de exatamente 19% no volume. Equivalentemente, r₂ = 0,9 · 4 = 3,6 cm.

D) 6,48.

❌ Incorreta: parece resultado de aplicar 0,81 ao diâmetro (8 × 0,81 = 6,48). Ou seja, dois erros sobrepostos: usar o diâmetro como raio e aplicar a redução linearmente.

E) 7,20.

❌ Incorreta: aproximadamente 0,9 × 8 = 7,2, isto é, aplicar o fator √0,81 = 0,9 ao diâmetro em vez de ao raio. O erro está em confundir diâmetro com raio.

🏆 Gabarito: C — Como V ∝ r² e a altura é mantida, r₂ = √0,81 · r₁ = 0,9 · 4 = 3,6 cm.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: mantida a altura, o volume varia com r²; reduzir V a 81% significa reduzir r a √0,81 = 90%, e 90% de 4 cm é 3,6 cm.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra reduções/aumentos percentuais aplicados a sólidos com a clara intenção de testar se o aluno sabe que volume escala com o cubo das dimensões (em sólidos semelhantes) ou com o quadrado das dimensões lineares (em sólidos com altura fixa).
• Generalização: se uma grandeza Y depende de outra X por Y = k · X², então para reduzir Y por um fator f basta multiplicar X por √f. Vale para áreas (em geometria plana) e para volumes com uma dimensão fixa.
• Dica de eliminação rápida: lembre que 0,81 = 0,9². Como 0,9 × 4 = 3,6, esse valor "salta" em meio às alternativas. Tudo que envolve 8 (o diâmetro) é armadilha. Resta apenas C.
• Conexões com outros temas: semelhança de sólidos (proporção entre arestas, áreas e volumes na razão k : k² : k³); volume de cilindro e esfera; geometria dos sólidos de revolução; problemas de embalagens em escala industrial.