Questão 152 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão e Proporção (norma técnica com restrições percentuais e múltiplas) e contagem inteira (número máximo de fileiras dentro de um intervalo)
• ⚡ Nível: Médio — exige interpretar a norma da ABNT em duas distâncias (mínima da 1ª fileira e máxima aceitável da última), espaçar fileiras de 1 em 1 metro e contar quantas fileiras cabem incluindo as extremidades
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Aplicação de razão/proporção em norma técnica e modelagem geométrica de capacidade
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que a tela tem L = 12 m, que a 1ª fileira está em 0,6L e que a sala será ampliada até 2,9L (limite aceitável) com fileiras espaçadas de 1 m, quantas fileiras cabem ao todo?"
• Palavras-chave decisivas: 0,6L (mínima), 2,9L (máxima aceitável), espaçamento de 1 m, L = 12 m, ampliar ao máximo respeitando o limite
• Armadilha típica: (1) calcular apenas o comprimento (2,9L − 0,6L) e esquecer de somar +1 fileira (efeito "poste e vão"); (2) usar 2L em vez de 2,9L como distância máxima — o enunciado diz que o limite aceitável é 2,9L, e a questão pede ampliação máxima; (3) cair em valor não-inteiro e arredondar para cima estourando os 2,9L.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar que a 1ª fileira fica a 7,2 m da tela, calcular o limite máximo aceitável a 34,8 m, dividir o intervalo por 1 m e somar 1 (princípio "fileira/intervalo"), checando que a última não passa de 34,8 m.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Distância mínima da 1ª fileira: Dmin = 0,6 × L. Para L = 12 m, Dmin = 7,2 m. Essa é a posição da 1ª fileira já existente, que será mantida.
• Distância máxima aceitável da última fileira: o enunciado dá o valor padrão Dmax = 2L e o limite aceitável de 2,9L. Como a questão pede ampliar ao máximo, usa-se 2,9L = 2,9 × 12 = 34,8 m.
• Princípio "postes e vãos" (ou pontos e intervalos): se entre o primeiro e o último ponto há n intervalos de 1 m, então existem n + 1 pontos. Equivale a dizer: nº de fileiras = (comprimento ocupado em metros) ÷ 1 + 1.
• Restrição inteira com teto: o número de fileiras tem que ser inteiro e a última fileira não pode ultrapassar 34,8 m. Se o cálculo der 28,6, arredonda-se para 28 (e não 29), pois 29 implicaria a última a 35,2 m, fora do limite aceitável.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (figura — descrição): a figura à esquerda mostra a planta lateral da sala em forma trapezoidal: na base inferior está a tela (largura L), e indica três distâncias verticais — Dmin = 0,6L (até a 1ª fileira), Dmax = 2L (norma padrão) e Daceitável = 2,9L (limite estendido). A região cinza no topo é rotulada "Área de instalação de novas poltronas". À direita, a figura mostra três fileiras de 4 poltronas espaçadas de 1 m em 1 m.
• Evidência 2: "ampliando-se ao máximo a sala para os fundos [...] respeitando-se o limite aceitável da norma" → usa-se Dmax_aceitável = 2,9L, e não apenas 2L.
• Evidência 3: "distância de 1 metro entre os encostos de poltronas em duas fileiras consecutivas" → o passo entre fileiras é 1 m, e isso vale tanto para as fileiras antigas quanto para as novas.
• Síntese: a 1ª fileira está em 7,2 m e a última pode chegar até 34,8 m. O comprimento útil para distribuir fileiras é 34,8 − 7,2 = 27,6 m, e o número máximo de fileiras é o maior inteiro k tal que 7,2 + (k − 1) × 1 ≤ 34,8.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular as distâncias-chave em metros

Com L = 12 m:

• Dmin (1ª fileira) = 0,6 × 12 = 7,2 m
• Dmax aceitável (última fileira) = 2,9 × 12 = 34,8 m

A sala original vai até 2L = 2 × 12 = 24 m, mas como a ampliação é "ao máximo respeitando o limite aceitável", a última fileira após ampliação ficará entre 24 m e 34,8 m.

Subpasso 4.2 — Comprimento útil para distribuir fileiras

A distância entre a 1ª e a última fileira pode ser, no máximo:

ΔD = Dmax − Dmin = 34,8 − 7,2 = 27,6 m

Subpasso 4.3 — Aplicar o princípio "postes e vãos"

Se as fileiras estão espaçadas de 1 m em 1 m e o comprimento entre a 1ª e a última é de até 27,6 m, então o número de intervalos entre fileiras é, no máximo, ⌊27,6⌋ = 27 (deve ser inteiro pois cada intervalo é exatamente 1 m). O número de fileiras é o número de intervalos mais 1:

nº de fileiras = 27 + 1 = 28

Subpasso 4.4 — Verificação da restrição

Verificando: a 28ª fileira está a 7,2 + 27 × 1 = 7,2 + 27 = 34,2 m da tela. 34,2 m ≤ 34,8 m ✓ — a fileira respeita o limite aceitável de 2,9L.

E se tentássemos 29 fileiras? A 29ª estaria em 7,2 + 28 = 35,2 m > 34,8 m. ✗ Estouraria o limite. Portanto 28 é o máximo.

Subpasso 4.5 — Conferência com as alternativas

Apenas a alternativa C apresenta 28 fileiras, que é o número máximo compatível com a norma e com o espaçamento inteiro de 1 m.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 26

❌ Incorreta: corresponderia a usar Dmax = 2L = 24 m (a norma padrão, ignorando o limite aceitável de 2,9L) ou a uma divisão errada do intervalo. Com 24 − 7,2 = 16,8 m, daria 17 intervalos e 18 fileiras, nem mesmo 26 — então a escolha indica confusão de cálculo combinada com perda do +1.

B) 27

❌ Incorreta: é o número de intervalos (27,6 → 27), não de fileiras. Quem marca essa esquece o princípio "postes e vãos" — para n intervalos cabem n + 1 fileiras. Erro clássico em questões de espaçamento.

C) 28

✅ Correta: com a 1ª fileira em 7,2 m e a última podendo chegar a 34,8 m, cabem 27 vãos de 1 m e, portanto, 28 fileiras. A 28ª fica em 34,2 m, dentro do limite. É a contagem máxima viável.

D) 29

❌ Incorreta: a 29ª fileira estaria a 35,2 m da tela, ultrapassando o limite aceitável de 34,8 m (= 2,9L). Quem marca essa força mais uma fileira sem checar a restrição.

E) 35

❌ Incorreta: valor incompatível com qualquer divisão correta dos 27,6 m úteis. Provavelmente vem de dividir 34,8 ÷ 1 = 34,8 e arredondar (esquecendo que a 1ª fileira começa em 7,2 m, não em 0). O erro é tomar a tela como referência das fileiras, contando todo o caminho desde a tela.

🏆 Gabarito: C — 28 fileiras é o máximo compatível com Dmin = 7,2 m, Dmax = 34,8 m e espaçamento de 1 m.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre 7,2 m e 34,8 m há 27,6 m de comprimento útil, que comportam 27 vãos de 1 m e, portanto, 28 fileiras (com a última fileira em 34,2 m, ainda dentro da norma).
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente combina porcentagem (0,6L, 2,9L) com contagem em malha regular (1 m de espaçamento). O candidato precisa enxergar a sequência aritmética de razão 1 e aplicar o princípio dos "postes e vãos".
• Generalização: para n elementos enfileirados com passo p ao longo de um trecho de comprimento C, vale n = ⌊C/p⌋ + 1 (quando o primeiro está na origem do trecho). Sempre verifique se o último elemento "cabe" no limite máximo.
• Dica de eliminação rápida: observando que o comprimento útil é 34,8 − 7,2 = 27,6 m e o passo é 1 m, a resposta gira em torno de 27 ou 28. A resposta "27" é armadilha (esquece o +1); a resposta "29" estoura o limite. Sobra 28 quase imediatamente.
• Conexões com outros temas: progressões aritméticas (PA de razão 1), problemas de plantio de árvores em estradas, capacidade máxima de elementos em um intervalo restrito, otimização discreta com restrição.