Questão 150 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (estudo da função quadrática: vértice, valor máximo) e modelagem com sistema de coordenadas deslocado
• ⚡ Nível: Difícil — exige calcular o vértice de uma parábola com coeficientes fracionários, ajustar a altura máxima ao referencial (eixo x deslocado em 1,5 m do piso) e comparar com cinco alturas de teto
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Aplicar funções quadráticas para modelar trajetórias e resolver problemas práticos envolvendo extremos
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que a parábola y = -x²/6 - 7x/3 + 12 descreve a trajetória do saque (com y medido a partir do eixo x, que fica a 1,5 m do piso), calcule a altura máxima da bola em relação ao piso e identifique em quais ginásios (I: 17 m, II: 18 m, III: 19 m, IV: 21 m, V: 40 m) o saque é invalidado por tocar o teto."
• Palavras-chave decisivas: parábola, eixo x localizado a 1,5 m do piso, invalidado se atingir o teto, 17, 18, 19, 21, 40 m
• Armadilha típica: Esquecer de somar 1,5 m ao y máximo da parábola para obter a altura em relação ao piso, comparando incorretamente com os tetos. Outro erro frequente é calcular o vértice com fórmulas mal aplicadas (Δ = b² − 4ac, ignorando o sinal de a, ou usando a fórmula errada para x do vértice).
• O que a resposta precisa demonstrar: três etapas — (1) achar o x do vértice; (2) calcular o y do vértice; (3) somar 1,5 m e comparar com cada teto.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função quadrática f(x) = ax² + bx + c: se a < 0 (parábola com concavidade para baixo), o vértice é o ponto de altura máxima. As coordenadas do vértice são x_v = -b/(2a) e y_v = f(x_v) = -Δ/(4a), com Δ = b² - 4ac.
• Mudança de referencial: o enunciado coloca o eixo x a 1,5 m do piso. O y dado pela parábola mede altura em relação a esse eixo, não em relação ao piso. Para obter altura sobre o piso, soma-se 1,5 m: altura_piso = y + 1,5.
• Saque invalidado: quando a altura máxima da bola é maior ou igual à altura do teto, a bola atinge o teto e o saque é invalidado. Como o enunciado diz "atingir o teto", consideramos invalidação para altura_máxima ≥ teto.
• Trajetória parabólica: a parábola descreve a posição da bola ao longo do percurso. O ponto mais alto corresponde ao vértice, e é nessa altura que a bola "encosta" no teto se ele for baixo o suficiente.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 — Equação dada: y = -x²/6 - 7x/3 + 12. Coeficientes a = -1/6, b = -7/3, c = 12. Como a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo, e o vértice é o ponto mais alto.
• Evidência 2 — Eixo x a 1,5 m do piso: o y da parábola mede altura em relação a esse eixo deslocado. Para comparar com os tetos (medidos a partir do piso), preciso somar 1,5 m a cada y obtido.
• Evidência 3 — Tetos: I = 17, II = 18, III = 19, IV = 21, V = 40 m: a comparação é entre a altura máxima total e cada teto.
• Evidência 4 — Figura: mostra a trajetória parabólica da bola partindo do lado esquerdo da quadra, passando por cima da rede (centro) e descendo do outro lado. O eixo x está exatamente na altura da rede.
• Síntese: calcular o vértice da parábola, somar 1,5 m e comparar com cada teto.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar os coeficientes da função quadrática

Reescrevendo y = -x²/6 - 7x/3 + 12 na forma ax² + bx + c:

• a = -1/6
• b = -7/3
• c = 12

Como a = -1/6 < 0, a parábola tem concavidade para baixo: o vértice é o ponto de altura MÁXIMA.

Subpasso 4.2 — Calcular x do vértice

x_v = -b/(2a) = -(-7/3) / (2 × (-1/6)) = (7/3) / (-1/3) = -7

Logo, o vértice está em x_v = -7.

Subpasso 4.3 — Calcular y do vértice (altura máxima em relação ao eixo x)

Substituindo x = -7 na equação:

y_v = -(-7)²/6 - 7·(-7)/3 + 12

y_v = -49/6 + 49/3 + 12

Reduzindo ao mesmo denominador (6):

y_v = -49/6 + 98/6 + 72/6

y_v = (-49 + 98 + 72)/6

y_v = 121/6

y_v ≈ 20,17 m (em relação ao eixo x)

Subpasso 4.4 — Converter para altura em relação ao piso

altura_máxima_piso = y_v + 1,5 = 121/6 + 1,5 = 121/6 + 9/6 = 130/6 ≈ 21,67 m

A bola atinge, no ponto mais alto da sua trajetória, aproximadamente 21,67 m acima do piso.

Subpasso 4.5 — Comparar com cada teto

O saque é invalidado se altura_máxima_piso ≥ altura do teto:

• Ginásio I (17 m): 21,67 ≥ 17 → INVALIDADO ✓
• Ginásio II (18 m): 21,67 ≥ 18 → INVALIDADO ✓
• Ginásio III (19 m): 21,67 ≥ 19 → INVALIDADO ✓
• Ginásio IV (21 m): 21,67 ≥ 21 → INVALIDADO ✓
• Ginásio V (40 m): 21,67 < 40 → não invalidado (a bola não atinge o teto)

Logo, o saque é invalidado em quatro dos cinco ginásios: I, II, III e IV.

Subpasso 4.6 — Verificação

Conferindo y_v = 121/6: 121 ÷ 6 = 20,1666... ≈ 20,17 ✓. Somando 1,5: 20,17 + 1,5 = 21,67 ✓. Como 21,67 está estritamente entre 21 (teto IV) e 40 (teto V), apenas o teto V "escapa". O resultado bate com a alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) apenas no ginásio I.

❌ Incorreta: Considerar que a bola só atinge o teto de 17 m subdimensiona a altura máxima do saque. Quem marca aqui provavelmente esqueceu de somar 1,5 m ao y máximo, achando que a altura final é cerca de 20 m, o que ainda assim invalidaria os tetos II e III. Erro de comparação ou de descontagem de 1,5 m.

B) apenas nos ginásios I e II.

❌ Incorreta: Ignora que a altura máxima 21,67 m supera também os tetos III (19 m) e IV (21 m). Quem marca aqui parou prematuramente nas comparações, ou calculou y_v = 18 m (provavelmente cometendo erro nas frações).

C) apenas nos ginásios I, II e III.

❌ Incorreta: Pulou a comparação com o ginásio IV (21 m), que também é menor que 21,67 m. Quem marca aqui talvez tenha arredondado a altura máxima para 20 m ou calculou y_v = 19,5 (erro nas frações).

D) apenas nos ginásios I, II, III e IV.

✅ Correta: A altura máxima da bola é 21,67 m (≈ 130/6 m). Esse valor supera os tetos de 17, 18, 19 e 21 m, mas é bem menor que os 40 m do ginásio V. Logo, o saque é invalidado em todos os ginásios EXCETO o V.

E) em todos os ginásios.

❌ Incorreta: O ginásio V tem teto de 40 m, muito acima dos 21,67 m da altura máxima. A bola não atinge o teto em V, então o saque NÃO é invalidado lá. Quem marca essa alternativa não comparou corretamente o teto V com o vértice.

🏆 Gabarito: D — a altura máxima da bola é aproximadamente 21,67 m acima do piso (vértice em y = 121/6 m e eixo x deslocado 1,5 m), o que invalida o saque nos ginásios I (17 m), II (18 m), III (19 m) e IV (21 m), mas não no ginásio V (40 m).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa coerente com o cálculo correto do vértice da parábola e com o ajuste do referencial (somar 1,5 m). A bola atinge o teto em quatro dos cinco ginásios.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma cobrar problemas com trajetória parabólica de saque, lançamento de basquete ou tiro ao alvo. A pegadinha clássica é o referencial deslocado: o aluno tem que somar (ou subtrair) uma altura para obter o valor "real" comparável ao contexto.
• Generalização: para encontrar a altura máxima de uma trajetória parabólica f(x) = ax² + bx + c (com a < 0), calcule x_v = -b/(2a), depois y_v = f(x_v), e ajuste pelo deslocamento do referencial vertical. Sempre cheque o sinal de a para confirmar que o vértice é o ponto MÁXIMO.
• Dica de eliminação rápida: observe que o teto V (40 m) é absurdamente alto para uma quadra de vôlei (não há ginásio com teto tão elevado). Isso já é uma sinalização de que esse ginásio NÃO invalida o saque, descartando a alternativa E ("em todos"). Restam quatro alternativas — basta calcular o vértice para escolher.
• Conexões com outros temas: lançamento oblíquo (Física), parábola (Geometria Analítica), função quadrática (estudo do vértice), problema de máximo/mínimo, equações do 2º grau.