Questão 149 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Estatística (cálculo de mediana em distribuição de frequências de variável discreta)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar a frequência acumulada, identificar as posições centrais e calcular a média entre os dois valores centrais quando a quantidade total é par
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Calcular medidas de tendência central (em particular a mediana) em distribuição de frequência tabulada
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dada a distribuição de frequências (0 crianças → 100 famílias; 1 → 400; 2 → 200; 3 → 150; 4 → 100; 5 → 50), calcule o valor mediano da quantidade de crianças por família."
• Palavras-chave decisivas: mediana, distribuição das frequências, número de crianças por família
• Armadilha típica: Confundir mediana com média. A média seria (0·100 + 1·400 + 2·200 + 3·150 + 4·100 + 5·50)/1 000 = (0 + 400 + 400 + 450 + 400 + 250)/1 000 = 1 900/1 000 = 1,9. Quem confunde marca 1,9 (alternativa C). Outro erro é esquecer que, com N = 1 000 (número par), a mediana é a média entre as posições 500 e 501.
• O que a resposta precisa demonstrar: três etapas — (1) calcular o total de famílias N e as posições centrais; (2) construir a frequência acumulada; (3) localizar os valores nas posições 500 e 501 e tirar sua média.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Mediana de uma distribuição: valor que separa os dados em duas metades iguais. Se N é ímpar, é o elemento da posição (N+1)/2; se N é par, é a média entre as posições N/2 e N/2 + 1.
• Frequência acumulada: soma sucessiva das frequências, de baixo para cima (do menor valor da variável para o maior). Permite localizar rapidamente em qual classe ou valor cai uma posição específica.
• Variável discreta: as quantidades observadas (0, 1, 2, ...) são contagens inteiras. Cada família contribui com um único valor para a distribuição.
• Mediana em variável discreta: quando as duas posições centrais caem em valores diferentes da variável, a mediana é a média aritmética desses dois valores.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 — Tabela do enunciado: quantidade de crianças por família vs. frequência (número de famílias). 0 → 100; 1 → 400; 2 → 200; 3 → 150; 4 → 100; 5 → 50.
• Evidência 2 — Total de famílias: somando as frequências, N = 100 + 400 + 200 + 150 + 100 + 50 = 1 000 famílias.
• Evidência 3 — N par (1 000): a mediana será a média entre o valor que ocupa a posição 500 e o valor que ocupa a posição 501.
• Síntese: construir a frequência acumulada para localizar as posições 500 e 501 e calcular a média entre os valores correspondentes.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Confirmar o número total de famílias

N = 100 + 400 + 200 + 150 + 100 + 50 = 1 000 famílias.

Como N = 1 000 é par, a mediana é a média aritmética entre o valor da 500ª família e o valor da 501ª família, quando ordenadas crescentemente pelo número de crianças.

Subpasso 4.2 — Construir a frequência acumulada

Ordenando crescentemente pelo número de crianças e somando:

• 0 crianças: posições de 1 a 100 (frequência acumulada = 100).
• 1 criança: posições de 101 a 500 (frequência acumulada = 100 + 400 = 500).
• 2 crianças: posições de 501 a 700 (frequência acumulada = 500 + 200 = 700).
• 3 crianças: posições de 701 a 850 (frequência acumulada = 850).
• 4 crianças: posições de 851 a 950 (frequência acumulada = 950).
• 5 crianças: posições de 951 a 1 000 (frequência acumulada = 1 000).

Subpasso 4.3 — Localizar as posições 500 e 501

• Posição 500 cai dentro da faixa "1 criança" (101 a 500), pois exatamente a posição 500 é a última desse intervalo. Logo, valor = 1.
• Posição 501 cai dentro da faixa "2 crianças" (501 a 700), pois é a primeira posição desse intervalo. Logo, valor = 2.

Subpasso 4.4 — Calcular a mediana

Mediana = (valor da 500ª + valor da 501ª) ÷ 2 = (1 + 2) ÷ 2 = 3/2 = 1,5.

A mediana da quantidade de crianças por família na região é 1,5, correspondente à alternativa B.

Subpasso 4.5 — Verificação por contagem direta

Conferindo a posição 500: 100 (zero crianças) + 400 (uma criança) = 500, exatamente ✓. Conferindo a posição 501: precisa avançar para o próximo valor da variável (2 crianças), pois 500 já se esgota em "1 criança". Portanto, mediana = (1+2)/2 = 1,5 ✓.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1,0.

❌ Incorreta: Esse seria o valor da mediana se ela fosse simplesmente o valor "1 criança" (que ocorre na 500ª posição). Mas como N é par, a regra exige a MÉDIA entre as posições 500 e 501 (1 e 2), não apenas a 500ª. Quem marca aqui não aplica corretamente a regra de N par.

B) 1,5.

✅ Correta: Mediana = (1 + 2) ÷ 2 = 1,5, obtida pela média entre os valores das posições 500 e 501 da distribuição ordenada. As frequências acumuladas confirmam que a 500ª família tem 1 criança e a 501ª tem 2.

C) 1,9.

❌ Incorreta: Esse é o valor da MÉDIA aritmética da distribuição: (0×100 + 1×400 + 2×200 + 3×150 + 4×100 + 5×50)/1 000 = 1 900/1 000 = 1,9. Quem marca essa alternativa confunde média com mediana — erro típico em problemas de estatística descritiva.

D) 2,1.

❌ Incorreta: Esse valor não corresponde a nenhuma medida de tendência central da distribuição dada. Possivelmente vem de quem soma frequências erroneamente ou inverte a ordem. Sem justificativa estatística para a distribuição apresentada.

E) 2,5.

❌ Incorreta: Esse seria o valor central se a distribuição fosse uniforme entre 0 e 5 (média (0+5)/2). Mas as frequências são bem diferentes (mais de 70% das famílias têm 0, 1 ou 2 crianças), então a mediana fica próxima dos valores baixos, não no meio do intervalo da variável.

🏆 Gabarito: B — a mediana é 1,5, obtida como média aritmética entre os valores das posições 500 (1 criança) e 501 (2 crianças) na distribuição ordenada de N = 1 000 famílias.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: B é a única alternativa coerente com a definição correta de mediana para N par (média entre as duas posições centrais), considerando a frequência acumulada da distribuição.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra mediana de distribuição tabulada como "armadilha" frequente: o aluno desavisado calcula a média e marca outra alternativa. A diferença entre média e mediana é central em estatística descritiva.
• Generalização: mediana de variável discreta com N par = média entre o valor da posição N/2 e o valor da posição N/2 + 1, identificadas via frequência acumulada. Para N ímpar, é simplesmente o valor da posição (N+1)/2.
• Dica de eliminação rápida: observe que mais da metade das famílias (500 das 1 000) têm 0 ou 1 criança. Logo, a mediana NÃO pode ser 2 ou mais — descarte D e E. Resta escolher entre 1,0; 1,5 e 1,9, e a regra de N par dá exatamente 1,5.
• Conexões com outros temas: média aritmética, moda, quartis, percentis, distribuição de frequência simples e acumulada, gráfico de barras, histograma, ogiva, indicadores demográficos.