Questão 148 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (substituição em fórmula com potências; razão entre dois valores funcionais)
• ⚡ Nível: Médio — exige substituir cuidadosamente as relações entre raio e temperatura na fórmula L = c·R²·T⁴ e simplificar a razão LE/LF
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Resolver problemas envolvendo funções de várias variáveis com potências, manipulando algebricamente para chegar a uma razão simples
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dada a Lei de Stefan-Boltzmann L = c·R²·T⁴ e a relação RE = RF/2 e TE = 2·TF, calcule a razão entre as luminosidades LE e LF e identifique a alternativa correta."
• Palavras-chave decisivas: L = c · R² · T⁴, metade do raio, dobro da temperatura, relação entre as luminosidades
• Armadilha típica: Aplicar incorretamente as potências (² no raio, ⁴ na temperatura). Quem confunde com R³ ou T² obtém respostas erradas. Outro erro frequente é esquecer de elevar 2 ao expoente ⁴ (16) e 1/2 ao expoente ² (1/4), trocando ordens.
• O que a resposta precisa demonstrar: substituição correta dos valores em LE = c·(RF/2)²·(2TF)⁴ e simplificação algébrica até chegar a uma razão LE/LF numérica.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Lei de Stefan-Boltzmann: L = c·R²·T⁴, em que L é a luminosidade, R o raio, T a temperatura efetiva e c a constante (mesma para todas as estrelas). Mostra que a luminosidade cresce com o quadrado do raio e com a quarta potência da temperatura — pequenas mudanças em T causam efeitos enormes.
• Potência de produto: (a·b)ⁿ = aⁿ · bⁿ. Aplicado: (2TF)⁴ = 2⁴ · TF⁴ = 16 · TF⁴, e (RF/2)² = RF²/4.
• Razão entre valores de uma função: dividir LE por LF cancela as constantes comuns (no caso, c) e os termos de RF e TF, restando só o fator numérico que multiplica.
• Crescimento polinomial: elevar à quarta potência amplifica muito mais o efeito do que elevar ao quadrado, então o "dobro da temperatura" acaba pesando mais (×16) do que "metade do raio" (×1/4).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 — "L = c · R² · T⁴": fórmula central, com c constante igual para todas as estrelas.
• Evidência 2 — "estrela E tem metade do raio da estrela F": RE = RF/2, ou equivalentemente RE = (1/2)·RF.
• Evidência 3 — "[estrela E tem] o dobro da temperatura de F": TE = 2·TF.
• Síntese: substituir em LE = c·RE²·TE⁴ os valores RE = RF/2 e TE = 2TF, calcular a razão LE/LF e simplificar até obter um múltiplo numérico de LF.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever LE substituindo as relações dadas

LE = c · (RE)² · (TE)⁴

LE = c · (RF/2)² · (2 · TF)⁴

Subpasso 4.2 — Aplicar a propriedade da potência de produto

• (RF/2)² = RF² / 2² = RF² / 4
• (2 · TF)⁴ = 2⁴ · TF⁴ = 16 · TF⁴

Substituindo de volta:

LE = c · (RF² / 4) · (16 · TF⁴)

Subpasso 4.3 — Simplificar o coeficiente numérico

Reorganizando:

LE = c · RF² · TF⁴ · (16 / 4)

LE = c · RF² · TF⁴ · 4

LE = 4 · (c · RF² · TF⁴)

Mas, pela lei aplicada à estrela F: LF = c · RF² · TF⁴.

Portanto:

LE = 4 · LF

Subpasso 4.4 — Verificação dimensional

Cada lado da equação tem unidade de luminosidade; o fator 4 é adimensional (vem de 16/4). Os fatores c, RF² e TF⁴ se cancelam exatamente entre LE e LF, comprovando o resultado. Confere com a alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) LE = LF/2

❌ Incorreta: Obtido por quem aplica apenas o fator do raio (R² → 1/4) e esquece o efeito da temperatura (T⁴ → 16), eventualmente arredondando para 1/2 sem justificativa. Ignora completamente que a temperatura entra com expoente 4 — o que pesa muito mais que o raio.

B) LE = LF/4

❌ Incorreta: Resultaria de aplicar somente o fator do raio (RF² → RF²/4) e ignorar inteiramente a temperatura (como se TE = TF). Erro de leitura do enunciado.

C) LE = LF

❌ Incorreta: Obtido por quem confunde os expoentes e aplica R⁴ e T²: (RF/2)⁴ · (2TF)² = (RF⁴/16) · (4·TF²) = RF⁴·TF²/4 ≈ LF/4 (depois de outros equívocos). Ou então quem aplica (RF/2)²·(2TF)² = (1/4)·4 = 1 — esquecendo que o expoente de T é 4, não 2.

D) LE = 4LF

✅ Correta: Substituindo RE = RF/2 e TE = 2TF na fórmula L = c·R²·T⁴, obtém-se LE = c·(RF²/4)·(16·TF⁴) = 4·c·RF²·TF⁴ = 4·LF. O efeito do dobro da temperatura (T⁴ → 16×) supera o efeito da metade do raio (R² → 1/4), resultando em luminosidade 4 vezes maior.

E) LE = 8LF

❌ Incorreta: Resultaria de quem usa expoentes errados, por exemplo R²·T⁵ ou R³·T⁴, ou simplesmente quem multiplica 2 (do dobro) com 4 (do expoente) de forma equivocada. Sobreestima o efeito da temperatura.

🏆 Gabarito: D — pela Lei de Stefan-Boltzmann, com RE = RF/2 e TE = 2TF, a razão LE/LF = (1/4) × 16 = 4, ou seja, LE = 4 · LF.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa coerente com a substituição correta na fórmula L = c·R²·T⁴: o fator 1/4 do raio multiplicado pelo fator 16 da temperatura dá exatamente 4.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de pegar leis físicas com potências (Stefan-Boltzmann, gravitação universal, terceira lei de Kepler) e pedir a razão entre dois objetos com parâmetros relacionados. A chave é manipular potências de produto.
• Generalização: se uma grandeza Y depende de variáveis X₁, X₂, ..., elevadas a expoentes a₁, a₂, ..., então a razão Y_novo/Y_velho = (k₁)^a₁ · (k₂)^a₂ · ..., onde k_i é o fator pelo qual cada variável foi multiplicada.
• Dica de eliminação rápida: observe que o expoente da temperatura (4) é maior que o do raio (2). Como a temperatura DOBROU e o raio só foi pela METADE, o efeito líquido na luminosidade deve ser de AUMENTO (alternativa com fator > 1). Isso elimina A, B e C de cara, restando apenas D ou E. Conferindo o cálculo (16/4 = 4), confirma-se D.
• Conexões com outros temas: Lei da gravitação universal (F ∝ 1/r²), terceira lei de Kepler (T² ∝ a³), leis de potência em geral, escalas logarítmicas em astronomia, intensidade luminosa.