Questão 146 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Equações (sistema linear 2×2) e otimização inteira (maximizar a soma de voltas)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar e resolver um sistema linear, depois testar combinações inteiras (a, b) que somem 5 000 m e maximizem a + b
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Resolver problemas que envolvem equações lineares simultâneas e otimização discreta com restrição
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que 3 voltas no circuito maior + 2 voltas no menor = 1 800 m, e que 2 voltas no maior + 1 volta no menor = 1 100 m, calcule a soma máxima do número INTEIRO de voltas (no maior + no menor) que totaliza exatamente 5 000 m no segundo dia."
• Palavras-chave decisivas: 3 voltas... maior e 2 voltas... menor, 1 800 m, 2 voltas... maior e 1 volta... menor, 1 100 m, 5 000 m, número inteiro de voltas, maior possível
• Armadilha típica: Esquecer que o número de voltas precisa ser INTEIRO em cada circuito (não pode ser fração ou negativo) e procurar a combinação que maximiza a soma a + b. Outro erro frequente é resolver o sistema com erros de sinal e descobrir tamanhos de circuito incorretos.
• O que a resposta precisa demonstrar: três etapas — (1) resolver o sistema linear para obter o tamanho de cada circuito; (2) testar as combinações inteiras (a, b) que satisfazem 400a + 300b = 5 000; (3) escolher a combinação com maior soma a + b.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Sistema linear 2×2: duas equações com duas incógnitas têm em geral solução única, obtida por substituição ou eliminação. No caso, x = comprimento do circuito maior e y = comprimento do circuito menor.
• Equação diofantina linear: uma equação do tipo 400a + 300b = 5 000 com a, b inteiros não negativos pode ter várias soluções. Para encontrar todas, simplifica-se (dividindo por 100): 4a + 3b = 50; em seguida testam-se valores inteiros de a (de 0 até a máximo) e verifica-se quais geram b inteiro.
• Maximização de a + b com restrição linear: quando se quer maximizar a soma a + b sob 4a + 3b = constante, vale priorizar a variável de menor coeficiente (b, pois 3 < 4); cada unidade de b "custa" menos no orçamento, então mais voltas no circuito menor maximiza a soma.
• Restrições de positividade: a ≥ 0 e b ≥ 0 (e inteiros). É preciso conferir cada par para garantir valores válidos.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 — "3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m": primeira equação do sistema, 3x + 2y = 1 800.
• Evidência 2 — "2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m": segunda equação do sistema, 2x + y = 1 100.
• Evidência 3 — "5 000 m... número inteiro de voltas... número de voltas seja o maior possível": restrição quantitativa do segundo dia. A soma a + b deve ser máxima sob 400a + 300b = 5 000 com a, b ∈ ℕ (inteiros não negativos).
• Síntese: primeiro resolve-se o sistema para obter x = 400 e y = 300; depois trabalha-se a equação diofantina 4a + 3b = 50 procurando a combinação com maior a + b.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar e resolver o sistema linear

Sejam x e y os comprimentos (em metros) do circuito maior e do menor. As equações são:

• 3x + 2y = 1 800
• 2x + y = 1 100

Da segunda equação isola-se y: y = 1 100 − 2x. Substituindo na primeira:

3x + 2(1 100 − 2x) = 1 800

3x + 2 200 − 4x = 1 800

−x = 1 800 − 2 200

−x = −400

x = 400 m

Voltando para y: y = 1 100 − 2 × 400 = 1 100 − 800 = 300 m.

Conferência: 3 × 400 + 2 × 300 = 1 200 + 600 = 1 800 ✓; 2 × 400 + 1 × 300 = 800 + 300 = 1 100 ✓.

Subpasso 4.2 — Montar a equação do segundo dia

Sejam a = nº de voltas no circuito maior e b = nº de voltas no circuito menor, ambos inteiros não negativos:

400a + 300b = 5 000

Dividindo por 100: 4a + 3b = 50.

Subpasso 4.3 — Encontrar todas as soluções inteiras não negativas

Isolando b: b = (50 − 4a) ÷ 3. Para b ser inteiro, (50 − 4a) deve ser divisível por 3.

Resto de 50 dividido por 3 é 2; resto de 4a dividido por 3 é igual ao resto de a (pois 4 ≡ 1 mod 3). Logo precisa-se a ≡ 2 (mod 3).

Valores de a possíveis (a ≥ 0 e b = (50 − 4a)/3 ≥ 0, o que dá a ≤ 12):

• a = 2 → b = (50 − 8)/3 = 42/3 = 14 → soma = 2 + 14 = 16
• a = 5 → b = (50 − 20)/3 = 30/3 = 10 → soma = 5 + 10 = 15
• a = 8 → b = (50 − 32)/3 = 18/3 = 6 → soma = 8 + 6 = 14
• a = 11 → b = (50 − 44)/3 = 6/3 = 2 → soma = 11 + 2 = 13

Quatro pares válidos. A soma máxima é com (a, b) = (2, 14), totalizando 16 voltas.

Subpasso 4.4 — Verificação

Conferindo o par (2, 14): 400 × 2 + 300 × 14 = 800 + 4 200 = 5 000 ✓. A soma a + b = 16 supera todas as demais combinações. Resposta: 16 voltas, alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 10.

❌ Incorreta: Se a soma fosse 10, faltaria distância: a maior soma possível com 10 voltas e ambos circuitos seria muito superior a 5 000 ou abaixo, dependendo da divisão, mas nenhum par inteiro (a, b) com a + b = 10 satisfaz 400a + 300b = 5 000 (testando a = 2, b = 8 dá 800 + 2 400 = 3 200; a = 5, b = 5 dá 2 000 + 1 500 = 3 500). Subdimensiona o número de voltas.

B) 13.

❌ Incorreta: Corresponde ao par (a, b) = (11, 2): 4 400 + 600 = 5 000 ✓. Embora seja uma combinação válida, NÃO é a que maximiza a soma — é a que minimiza, pois favorece o circuito maior, que "consome" mais distância por volta.

C) 14.

❌ Incorreta: Corresponde ao par (a, b) = (8, 6): 3 200 + 1 800 = 5 000 ✓. Combinação intermediária, válida, mas longe de maximizar a soma. Quem marca essa alternativa parou no primeiro par testado em vez de buscar o maior valor.

D) 15.

❌ Incorreta: Corresponde ao par (a, b) = (5, 10): 2 000 + 3 000 = 5 000 ✓. Soma 15 é maior que 14 e 13, mas ainda inferior a 16. Quem marca aqui não testou o caso de a = 2 que dá b = 14.

E) 16.

✅ Correta: Corresponde ao par (a, b) = (2, 14): 800 + 4 200 = 5 000 ✓. É a combinação inteira com maior soma a + b possível, obtida priorizando o circuito menor (cujas voltas custam menos distância e permitem mais quantidade).

🏆 Gabarito: E — a soma máxima de voltas inteiras nos dois circuitos, totalizando 5 000 m, é 16 voltas (2 no maior + 14 no menor), pois priorizar o circuito menor maximiza a quantidade de voltas dentro do orçamento de distância.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: E é a única alternativa que combina (i) compatibilidade com 5 000 m exatos e (ii) máximo número total de voltas. Qualquer outro par válido (15, 14, 13) atende à distância, mas não maximiza a soma.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de combinar sistema linear (para descobrir grandezas básicas) com equação diofantina (para encontrar soluções inteiras com restrição). Essa "dupla camada" é uma armadilha clássica.
• Generalização: para maximizar a + b sob ax + by = c (com x, y > 0), priorize a variável de menor coeficiente (no caso, o circuito menor com 300 m por volta). Cada unidade dessa variável "consome menos" do orçamento, permitindo mais unidades no total.
• Dica de eliminação rápida: descarte qualquer alternativa cuja soma seja menor que 5 000 ÷ 300 ≈ 16,67 (limite teórico se só usássemos o menor circuito). Isso restringe imediatamente o leque de respostas. Como precisa ser inteiro, o máximo plausível é 16, e ele se confirma com (2, 14).
• Conexões com outros temas: sistema linear, equação diofantina, otimização linear inteira (programação linear inteira), MMC e MDC (para divisibilidade), análise combinatória (para contagem de soluções inteiras).