Questão 145 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão e Proporção (manutenção da razão entre duas grandezas e cálculo de quantidade adicional)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar a proporção entre gemas e moedas, calcular a quantidade total de gemas no pacote especial e identificar a quantidade ADICIONAL de moedas a inserir, em vez do total
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Resolver problemas envolvendo proporcionalidade direta, razão entre grandezas e estimativas em contextos de consumo
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "No pacote especial (R$ 100,00) com 6 000 gemas a mais que dois pacotes básicos juntos, descubra quantas moedas de ouro a empresa deve inserir além das que já existiriam num pacote básico, mantendo a razão original entre gemas e moedas."
• Palavras-chave decisivas: 2 000 gemas e 100 000 moedas, 6 000 gemas a mais, dois pacotes básicos, mesma proporção, deverá inserir
• Armadilha típica: Calcular o TOTAL de moedas do pacote especial (500 000) sem perceber que a pergunta é sobre a quantidade INSERIDA além do que já havia em um pacote básico. Outro erro frequente é só dobrar o conteúdo (R$ 100 = 2 × R$ 50, então 200 000 moedas), ignorando que as gemas extras impõem aumento proporcional nas moedas para manter a razão original.
• O que a resposta precisa demonstrar: três cálculos — (1) total de gemas do pacote especial; (2) total de moedas necessárias para preservar a razão moedas/gemas = 50; (3) quantidade ADICIONAL de moedas comparada ao baseline de 100 000 do pacote básico.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Razão entre duas grandezas: dividir a quantidade de uma pela outra dá um número fixo. No pacote básico, razão moedas/gemas = 100 000 ÷ 2 000 = 50. Cada gema vem acompanhada de 50 moedas.
• Manter a proporção: se a razão original é 50 moedas por gema, então qualquer pacote que mantenha essa proporção precisa ter exatamente moedas = 50 × gemas. Aumentar gemas obriga a aumentar moedas no mesmo fator.
• Quantidade total vs quantidade adicional: problemas práticos costumam pedir "quanto a empresa precisa colocar a MAIS" (adicional), não o total. A diferença é o que está no pacote NOVO menos o que estaria no pacote VELHO de referência.
• Pacote básico como referência: o enunciado usa o pacote básico como ponto de comparação ("o que o cliente teria caso optasse por comprar... dois pacotes básicos" para gemas), o que indica que o baseline para moedas é o do pacote básico (100 000), e a pergunta é sobre a quantidade adicional além desse baseline.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 — "2 000 gemas e 100 000 moedas": essa é a composição do pacote básico, que define a razão moedas/gemas = 100 000 ÷ 2 000 = 50.
• Evidência 2 — "6 000 gemas a mais, em relação ao que o cliente teria caso optasse por comprar... dois pacotes básicos": dois pacotes básicos teriam 2 × 2 000 = 4 000 gemas. O pacote especial deve então ter 4 000 + 6 000 = 10 000 gemas no total.
• Evidência 3 — "mantida a mesma proporção existente entre as quantidades de gemas e de moedas de ouro contidas no pacote básico": com 10 000 gemas e razão 50, o pacote especial deve ter 10 000 × 50 = 500 000 moedas no total.
• Evidência 4 — "A quantidade de moedas de ouro que a empresa deverá inserir ao pacote especial": "inserir" remete à quantidade adicional sobre o baseline do pacote básico, ou seja, 500 000 − 100 000 = 400 000 moedas a mais.
• Síntese: três contas em sequência — (i) total de gemas: 10 000; (ii) total de moedas para manter a razão: 500 000; (iii) moedas adicionais inseridas em relação ao básico: 400 000.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular a razão moedas/gemas do pacote básico

razão = moedas ÷ gemas = 100 000 ÷ 2 000 = 50 moedas por gema.

Isso significa que para cada gema vendida no pacote, são entregues 50 moedas de ouro. Essa razão é o que precisa ser preservado no pacote especial.

Subpasso 4.2 — Calcular a quantidade total de gemas no pacote especial

O cliente que pagasse R$ 100,00 comprando dois pacotes básicos teria: 2 × 2 000 = 4 000 gemas.

O pacote especial oferece 6 000 gemas A MAIS que isso, então:

gemas no especial = 4 000 + 6 000 = 10 000 gemas.

Subpasso 4.3 — Calcular a quantidade total de moedas para preservar a razão

Mantendo razão = 50 moedas/gema:

moedas no especial = 50 × 10 000 = 500 000 moedas.

Esse é o total de moedas que o pacote especial deve conter para que a proporção interna gemas:moedas seja igual à do pacote básico.

Subpasso 4.4 — Determinar a quantidade adicional inserida em relação ao baseline básico

A pergunta é sobre a quantidade adicional ("inserir"), tomando como referência o que já existe num pacote básico (100 000 moedas):

moedas adicionais inseridas = total no especial − baseline básico = 500 000 − 100 000 = 400 000 moedas.

Subpasso 4.5 — Verificação por proporção direta

Conferindo a razão final no pacote especial: 500 000 ÷ 10 000 = 50 ✓ (igual à razão do básico). Conferindo o total adicional: 100 000 (já presente) + 400 000 (a inserir) = 500 000 ✓. O par "10 000 gemas e 500 000 moedas" mantém exatamente a proporção original. A resposta procurada é 400 000, consistente com a alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 50 000.

❌ Incorreta: Esse valor corresponderia a metade das moedas de um pacote básico, sem nenhuma justificativa proporcional. Nenhum cálculo coerente com a manutenção da razão 50 moedas/gema produz 50 000.

B) 10 0000.

❌ Incorreta: 100 000 moedas é exatamente a quantidade já existente em UM pacote básico. Quem responde isso supõe que o pacote especial mantenha as mesmas 100 000 moedas do básico, o que viola a manutenção da proporção (10 000 gemas com 100 000 moedas dariam razão 10, não 50).

C) 200 000.

❌ Incorreta: Esse é o total de moedas que o cliente receberia ao comprar DOIS pacotes básicos (2 × 100 000). Quem marca essa alternativa apenas dobra o conteúdo do básico ao dobrar o preço, ignorando que as 6 000 gemas extras obrigam a aumentar as moedas além desse simples dobro.

D) 300 000.

❌ Incorreta: Esse seria o resultado de quem calcula a quantidade adicional em relação a DOIS pacotes básicos (500 000 − 200 000 = 300 000), em vez de em relação a UM. O baseline do enunciado é o pacote básico simples (100 000 moedas), não o dobro.

E) 400 000.

✅ Correta: Mantendo a razão 50 moedas/gema, o pacote especial precisa de 10 000 × 50 = 500 000 moedas no total. Como o pacote básico já contém 100 000 moedas, a empresa precisa inserir 500 000 − 100 000 = 400 000 moedas adicionais para fechar a proporção.

🏆 Gabarito: E — a empresa precisa inserir 400 000 moedas no pacote especial além das 100 000 que já constariam de um pacote básico, para manter a razão original de 50 moedas por gema com as 10 000 gemas finais do pacote especial.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: E é a única alternativa coerente com a manutenção da razão moedas/gemas = 50 e com o cálculo da quantidade ADICIONAL inserida sobre o baseline do pacote básico.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de cobrar proporcionalidade entre dois itens (gemas/moedas, óleo/temperos, sal/açúcar) e exigir que se mantenha a razão original. A pegadinha quase sempre está em distinguir TOTAL e ADICIONAL.
• Generalização: quando o problema pedir "quanto inserir para manter a proporção", calcule (1) a razão original entre as duas grandezas; (2) o novo total da grandeza variável; (3) o novo total da outra grandeza (= razão × novo total); (4) o adicional = novo total − referência.
• Dica de eliminação rápida: descarte de cara qualquer valor que seja menor ou igual ao baseline conhecido (100 000), porque inserir menos que 100 000 não pode aumentar o conteúdo de moedas em um pacote já com 100 000.
• Conexões com outros temas: porcentagem (qual o aumento percentual de moedas? 400 000 / 100 000 = 400%), regra de três simples, escalonamento de receitas (proporção de ingredientes), funções lineares (y = 50x).