Questão 138 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Estatística (mediana de um conjunto de dados)
• ⚡ Nível: Médio — exige leitura cuidadosa de gráfico de barras duplas, separação de lucros/prejuízos e ordenação
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Leitura de gráficos e cálculo de medida de tendência central (mediana) aplicado a contexto financeiro
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Considerando apenas os meses em que houve lucro (receita > despesa), calcule a mediana desses lucros mensais em milhão de reais."
• Palavras-chave decisivas: mediana, lucros apurados, diferença entre receita e despesa é positiva, prejuízo quando... negativa
• Armadilha típica: Incluir os meses de prejuízo no cálculo da mediana, ou calcular a média em vez da mediana, ou calcular a mediana das receitas isoladamente. O enunciado delimita explicitamente: só entram os lucros (diferenças positivas), prejuízos ficam de fora.
• O que a resposta precisa demonstrar: Ler o gráfico, obter Receita − Despesa de cada mês, excluir os meses com diferença negativa, ordenar os valores restantes e identificar o valor central.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Mediana: É o valor que ocupa a posição central de um conjunto ordenado de dados. Se há n valores ordenados e n é ímpar, a mediana é o termo da posição (n+1)/2; se n é par, é a média dos termos das posições n/2 e n/2 + 1. A mediana é robusta a valores extremos, diferentemente da média.
• Lucro mensal: L = Receita − Despesa. Lucro positivo (L > 0) significa que a empresa "ganhou dinheiro" naquele mês; lucro negativo corresponde a prejuízo. O enunciado diferencia claramente os dois.
• Gráfico de barras duplas: Cada mês tem duas barras — uma escura (receita) e outra clara (despesa). A diferença vertical entre elas, quando a escura é maior, representa o lucro daquele mês.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "obtém lucro quando a diferença entre receita e despesa é positiva e tem prejuízo quando essa diferença é negativa" → define claramente L = R − D e separa meses de lucro (L > 0) de meses de prejuízo (L < 0). A questão pede a mediana apenas dos lucros.
• Evidência 2 (imagem): O gráfico mostra 12 meses (Jan a Dez) com duas barras por mês: escura (receita) e clara (despesa). Lendo com cuidado (cada divisão horizontal = 1 milhão):

- Jan: R = 6, D = 3 → L = +3

- Fev: R = 4, D = 5 → L = −1 (prejuízo)

- Mar: R = 3, D = 1 → L = +2

- Abr: R = 5, D = 2 → L = +3

- Mai: R = 6, D = 1 → L = +5

- Jun: R = 5, D = 2 → L = +3

- Jul: R = 6, D = 4 → L = +2

- Ago: R = 2, D = 4 → L = −2 (prejuízo)

- Set: R = 6, D = 4 → L = +2

- Out: R = 2, D = 4 → L = −2 (prejuízo)

- Nov: R = 8, D = 7 → L = +1

- Dez: R = 6, D = 2 → L = +4

• Evidência 3: "mediana [...] dos valores dos lucros apurados" → o plural "lucros" confirma que só entram os meses de lucro positivo.
• Síntese: O conjunto dos lucros (em milhões) é {3, 2, 3, 5, 3, 2, 2, 1, 4}. São 9 valores. Basta ordenar e pegar o do meio (5ª posição).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Listar os lucros de cada mês (excluindo prejuízos)

Dos 12 meses, três apresentam prejuízo (Fev, Ago, Out), então restam 9 meses de lucro. Os lucros (em milhão de reais) são:

Jan = 3; Mar = 2; Abr = 3; Mai = 5; Jun = 3; Jul = 2; Set = 2; Nov = 1; Dez = 4.

Conjunto de lucros: {3, 2, 3, 5, 3, 2, 2, 1, 4}. Total: 9 valores.

Subpasso 4.2 — Ordenar os valores em ordem crescente

Organizando: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5.

Posições:

1ª = 1

2ª = 2

3ª = 2

4ª = 2

5ª = 3

6ª = 3

7ª = 3

8ª = 4

9ª = 5

Subpasso 4.3 — Localizar a posição mediana

Como há n = 9 valores (ímpar), a mediana ocupa a posição (9 + 1)/2 = 5. O 5º termo é 3. Portanto a mediana dos lucros é 3 milhões de reais.

Subpasso 4.4 — Verificação

Conferência: há 4 valores ≤ 3 antes da posição central? Sim (1, 2, 2, 2). Há 4 valores ≥ 3 depois? Sim (3, 3, 4, 5). A posição 5 divide o conjunto em duas metades simétricas em contagem, confirmando a mediana = 3,0. O resultado 3,0 corresponde à alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1,5

❌ Incorreta: Valor próximo da mediana de todas as diferenças incluindo prejuízos (−2, −2, −1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5), cuja mediana seria (2+2)/2 = 2, mas não dá 1,5. Também pode surgir ao confundir mediana com a média entre o menor lucro e o maior (1+5)/2? Não — (1+5)/2 = 3. 1,5 é fruto de cálculo equivocado, provavelmente mediana entre mês 6 e mês 7 tomando ambas as barras.

B) 2,0

❌ Incorreta: Mediana do conjunto com os prejuízos incluídos. Ordenando as 12 diferenças (−2, −2, −1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5), a mediana é a média dos 6º e 7º termos = (2+2)/2 = 2. O aluno esqueceu que o enunciado restringe aos lucros.

C) 2,9

❌ Incorreta: É a média dos 9 lucros: (1+2+2+2+3+3+3+4+5)/9 = 25/9 ≈ 2,78 ≈ 2,8. Arredondando para 2,9, o aluno confunde mediana com média aritmética.

D) 3,0

✅ Correta: Conjunto ordenado dos 9 lucros mensais é 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5; o 5º termo (posição central) vale 3. Portanto a mediana é 3,0 milhões.

E) 5,5

❌ Incorreta: Pode resultar de confundir mediana com o valor máximo ou com a média entre os dois maiores lucros: (5 + 4)/2 = 4,5, ainda não bate; ou de erro de leitura do maior pico (novembro, R = 8, parecendo L = 5 + alguma coisa). É um valor inconsistente com a definição de mediana.

🏆 Gabarito: D — A mediana dos 9 lucros mensais ordenados é o 5º termo, que vale 3,0 milhões.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A letra D é a única correta porque, excluídos os três meses de prejuízo, restam 9 lucros cujo termo central na ordenação é 3,0 milhões.
• Padrão de cobrança: O ENEM adora misturar estatística descritiva com leitura de gráfico. A armadilha é sempre a mesma: diferenciar média de mediana e prestar atenção ao recorte do conjunto (aqui, "apenas lucros").
• Generalização: Para achar a mediana de n dados, ordene e escolha o termo (n+1)/2 se n é ímpar, ou a média dos termos n/2 e n/2 + 1 se n é par. Antes disso, sempre verifique qual subconjunto do problema deve ser usado.
• Dica de eliminação rápida: Como os lucros mensais variam entre 1 e 5 milhões, a mediana precisa estar nesse intervalo. Isso já descarta 5,5 (E) e torna 2,9 (C) suspeita (valor de média, não de dado observado, pois os lucros são números inteiros). Entre 2,0 e 3,0, a maioria dos lucros é ≥ 3, então a mediana tende a 3,0.
• Conexões com outros temas: média, moda, desvio-padrão, análise de DRE (demonstração de resultado), gráficos de barras agrupadas e séries temporais.