Questão 137 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (binomial e contagem de sequências)
• ⚡ Nível: Médio — exige modelar corretamente a série remanescente após o 1º jogo e usar binômio
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Cálculo de probabilidade em eventos independentes e uso do modelo binomial para séries "melhor de sete"
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado que um time venceu a primeira partida, qual a probabilidade de ele terminar a série com 4 vitórias antes do adversário, em uma disputa melhor de sete com partidas equiprováveis?"
• Palavras-chave decisivas: primeira partida, completar quatro vitórias, probabilidade 1/2, time campeão
• Armadilha típica: Tratar o problema como "vitórias em 7 jogos" em vez de entender que a série termina assim que alguém atinge 4. Outro erro frequente é esquecer que o 1º jogo já foi contabilizado como vitória do time A — ele precisa de apenas mais 3 vitórias nos 6 jogos restantes.
• O que a resposta precisa demonstrar: Modelar corretamente a situação após o primeiro jogo (A com 1 vitória, B com 0) e calcular P(A vencer 4 antes de B vencer 4) assumindo a melhor de 6 remanescentes, chegando a uma fração com denominador 64.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Independência entre jogos: Cada jogo é independente e tem probabilidade 1/2 para cada lado. A ordem e o resultado de um jogo não afetam os outros.
• Truque da "série estendida": Numa disputa "melhor de N", pode-se contar as probabilidades como se todas as N partidas fossem disputadas, mesmo que na prática a série termine antes. Isso porque, para cada sequência completa de N jogos, existe um ganhador bem definido: quem tiver mais vitórias até o momento em que atingiu 4. O total dos cenários "A ganha" fica o mesmo, e 2ᴺ é um denominador cômodo.
• Distribuição binomial: Se X é o número de vitórias de A em n jogos independentes com p = 1/2, então P(X = k) = C(n,k) / 2ⁿ. E P(X ≥ k₀) = (ΣC(n,k)) / 2ⁿ, com k variando de k₀ até n.
• Coeficientes binomiais úteis: C(6,0)=1, C(6,1)=6, C(6,2)=15, C(6,3)=20, C(6,4)=15, C(6,5)=6, C(6,6)=1. A soma é 64 = 2⁶.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão" → é uma série "melhor de 7", com limite superior de 7 partidas, mas pode terminar em 4, 5, 6 ou 7.
• Evidência 2: "a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre 1/2" → jogos são independentes e simétricos, permitindo uso direto do modelo binomial.
• Evidência 3: "o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida" → condicionamos ao fato de A já ter 1 vitória e B ainda ter 0. Restam no máximo 6 jogos; A precisa de 3 vitórias nesses 6 antes que B consiga 4.
• Síntese: Basta calcular a probabilidade de A ter pelo menos 3 vitórias em 6 jogos independentes com p = 1/2, pois em qualquer sequência de 6 jogos em que A some ≥ 3 vitórias, ele atinge a 4ª vitória total antes de B chegar à 4ª.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Modelar após o 1º jogo

Chamemos de A o time que venceu a primeira partida. Placar corrente: A = 1, B = 0. Daqui para frente, a série estará decidida em, no máximo, mais 6 jogos (totalizando 7 no pior caso). A precisa de 3 vitórias adicionais; B precisa de 4.

Subpasso 4.2 — Usar o truque da "série estendida"

Em vez de calcular jogo a jogo (árvore com vários ramos terminando cedo), imaginemos que todos os 6 jogos restantes são disputados mesmo depois que a série esteja matematicamente decidida. Isso não altera a probabilidade de A ser campeão, porque o ganhador fica determinado assim que alguém atinge 4 vitórias totais, e a continuação dos jogos é irrelevante. A vantagem é que agora temos um modelo binomial puro.

Seja X = número de vitórias de A nesses 6 jogos. X ~ Bin(6; 1/2). A será campeão se, e somente se, A atingir pelo menos 3 vitórias em 6 jogos (porque 1 + 3 = 4). Logo:

P(A campeão | A venceu o 1º jogo) = P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6).

Subpasso 4.3 — Calcular cada termo

Cada P(X = k) = C(6,k) / 2⁶ = C(6,k) / 64. Aplicando os coeficientes binomiais:

• P(X = 3) = C(6,3) / 64 = 20 / 64
• P(X = 4) = C(6,4) / 64 = 15 / 64
• P(X = 5) = C(6,5) / 64 = 6 / 64
• P(X = 6) = C(6,6) / 64 = 1 / 64

Subpasso 4.4 — Somar

P(X ≥ 3) = (20 + 15 + 6 + 1) / 64 = 42 / 64.

A fração pode ser simplificada para 21/32, mas o enunciado deixa as alternativas com denominador 64, então mantemos 42/64 para o "match" direto.

Subpasso 4.5 — Verificação pela simetria

Como p = 1/2 para ambos, se nada tivesse acontecido no 1º jogo, P(A campeão) = 1/2 = 32/64. Venceu o 1º jogo? A ganha uma vantagem, então a probabilidade deve ser maior do que 32/64. De fato, 42/64 > 32/64 ✓. Além disso, 42/64 ≈ 0,656 ≈ 65,6%, razoável para "venceu o primeiro em uma série curta". Outra verificação: P(B campeão | A venceu 1º) = P(X ≤ 2) = (1+6+15)/64 = 22/64, e 42 + 22 = 64 ✓.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 35/64

❌ Incorreta: Valor obtido quando se esquece de incluir P(X = 3) ou quando se comete erro nos coeficientes binomiais (por exemplo, usar C(7,4)=35 como se a série tivesse 7 jogos independentes da condição, tratando X ≥ 4 em Bin(7, 1/2) sem a pista dada).

B) 40/64

❌ Incorreta: Resulta de contabilizar 20 + 15 + 5 (erro em C(6,5)) ou somar apenas 3 termos arredondando um deles. Representa um erro aritmético nos coeficientes binomiais.

C) 42/64

✅ Correta: P(X ≥ 3) com X ~ Bin(6, 1/2) vale exatamente (20 + 15 + 6 + 1)/64 = 42/64. Como A já venceu o 1º jogo, basta ter 3 vitórias adicionais nos 6 jogos restantes.

D) 44/64

❌ Incorreta: Erro comum: usar Bin(6, 1/2) e contar X ≥ 2 (confundindo "precisa mais 3" com "precisa mais 2"), obtendo (15+20+15+6+1)/64? Isso dá 57/64. Ou então somar C(6,3)+C(6,4)+C(6,5)+C(6,6)+1 extra = 43, e arredondar para 44. De qualquer modo, não corresponde a nenhum cálculo consistente do problema.

E) 52/64

❌ Incorreta: Confunde a lógica e pensa em "A vence os 7 jogos com chance 1/2 em cada" somando demais casos, ou calcula P(X ≥ 2) em Bin(6,1/2), que vale (15+20+15+6+1)/64 = 57/64 — também errado, mas perto de 52/64, mostrando que o aluno sobrecontou os cenários.

🏆 Gabarito: C — P(A campeão | A venceu o 1º jogo) = P(Bin(6, 1/2) ≥ 3) = 42/64.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A letra C é a única resposta porque o evento "A campeão" após ter vencido o 1º jogo equivale, numa série estendida mentalmente a 6 jogos, ao evento "A tem pelo menos 3 vitórias em 6 lançamentos de moeda honesta". O binomial dá 42/64.
• Padrão de cobrança: O ENEM adora modelar disputas "melhor de n" como árvore de eventos independentes e perguntar a probabilidade condicional após uma parte da série. O truque é quase sempre o mesmo: estender mentalmente a série e usar Bin(n, 1/2).
• Generalização: Numa série "melhor de 2k+1" com p = 1/2, após vencer m jogos a probabilidade de um time ser campeão vale P(Bin(2k+1−m−j, 1/2) ≥ k+1−m), onde j é o número de derrotas já sofridas. Aqui k = 3, m = 1, j = 0, então P(Bin(6,1/2) ≥ 3) = 42/64.
• Dica de eliminação rápida: Como a vitória no 1º jogo dá vantagem, a resposta deve ser maior do que 1/2 = 32/64. Isso já elimina qualquer alternativa abaixo de 32/64 (nenhuma aqui). Entre as restantes, a única que bate com C(6,3)+C(6,4)+C(6,5)+C(6,6) é 42/64.
• Conexões com outros temas: distribuição binomial, probabilidade condicional, simetria em jogos equiprováveis, coeficientes de Pascal, e passeios aleatórios — todos temas que aparecem com frequência em problemas de estratégia e jogos.