Questão 136 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (raízes de função composta e leitura de gráfico)
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir a condição V = 0 em valores específicos de T e contar ocorrências no gráfico
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Interpretação de gráficos de funções contínuas e análise de raízes de uma função quadrática composta com uma função temporal
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas vezes, nas 10 horas, a velocidade V do pistão ficou igual a zero, sabendo que V = T² − 4 e que T(t) é dada no gráfico?"
• Palavras-chave decisivas: V = T² − 4, velocidade se anula, 10 horas de funcionamento, quantas vezes
• Armadilha típica: Contar apenas os cruzamentos da curva com o eixo horizontal (T = 0). O pistão não falha quando T = 0, e sim quando V = 0, e V = 0 exige T² = 4, isto é, T = +2 ou T = −2. Outra armadilha é esquecer de contar os pontos em que a curva apenas toca o valor −2 sem atravessar (os mínimos do gráfico), que também contam como anulação.
• O que a resposta precisa demonstrar: Identificar o conjunto {T = 2, T = −2} como solução de V = 0 e contar, no gráfico, quantas vezes a curva T(t) assume cada um desses valores ao longo de [0 h; 10 h].

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função composta V(t) = T(t)² − 4: A velocidade depende do tempo indiretamente, através da temperatura. Para achar quando V = 0, não olhamos para o eixo do tempo diretamente — olhamos para quais temperaturas zeram V e depois contamos quantos instantes produzem essas temperaturas.
• Raízes de T² − 4 = 0: É uma diferença de quadrados, T² − 4 = (T − 2)(T + 2). As raízes são T = 2 e T = −2. Qualquer outro valor de T dá V ≠ 0.
• Leitura de pontos em um gráfico contínuo: Cada vez que a curva T(t) atravessa uma reta horizontal T = c conta como 1 ocorrência; cada vez que apenas encosta (tangencia, como um vale ou pico) também conta como 1 ocorrência, porque naquele instante a temperatura de fato é igual a c.
• Relação entre mínimos/máximos e tangências: Se o gráfico tem vales (mínimos locais) exatamente em T = −2, cada vale é um ponto isolado em que T = −2, e não uma travessia dupla — cada vale conta como 1 anulação.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "V = T² − 4" → a velocidade é função quadrática de T, e V = 0 ⇔ T² = 4 ⇔ T = ±2. O problema é, portanto, contar visitas a T = 2 e T = −2.
• Evidência 2: "falhas de funcionamento quando a velocidade do pistão se anula" → confirma que os únicos valores de T que interessam são +2 e −2; qualquer outra temperatura é irrelevante para a contagem.
• Evidência 3 (imagem): O gráfico mostra a curva T(t) no intervalo [0; 10] h. Descrevendo o que se vê: a curva inicia próxima de T ≈ 3,5 °C, sobe rapidamente até o pico T = 4 °C, depois desce atravessando a reta T = 2 e em seguida a reta T = 0, chegando a T = −2 °C (primeiro vale). A partir daí a curva oscila, formando três vales sucessivos que tocam exatamente a reta T = −2 (os dois pontos de mínimo intermediários e o primeiro), separados por pequenas subidas que não chegam ao nível T = 0. Depois do terceiro vale, a curva sobe definitivamente, atravessa T = 0, depois T = 2 e termina próxima de T ≈ 3 °C em t = 10 h.
• Síntese: Basta superpor ao gráfico duas retas horizontais — uma em T = 2 e outra em T = −2 — e contar os pontos de interseção. A reta T = 2 é cortada na descida inicial e na subida final. A reta T = −2 é tocada nos três vales da parte central do gráfico.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir V = 0 em condição sobre T

A velocidade anula-se quando T² − 4 = 0, ou seja, T² = 4, que fornece T = 2 ou T = −2. Esses são os dois (e únicos) valores de temperatura nos quais o pistão fica momentaneamente parado. Toda a questão reduz-se a: "quantas vezes T(t) assumiu o valor 2 ou o valor −2 em 0 ≤ t ≤ 10?"

Subpasso 4.2 — Contar ocorrências de T = 2

Traçamos mentalmente a reta horizontal T = 2 sobre o gráfico. A curva parte de T ≈ 3,5 °C, sobe ao pico T = 4 °C — portanto está acima da reta T = 2. Em seguida desce, cruzando T = 2 uma única vez (primeira ocorrência). Depois disso a curva permanece abaixo de T = 2 durante toda a fase central (está entre −2 e valores bem menores que 2). Por fim, após o último vale, a curva sobe e cruza novamente T = 2 (segunda ocorrência), indo até T ≈ 3 °C. Logo, há 2 instantes em que T = 2.

Subpasso 4.3 — Contar ocorrências de T = −2

Agora traçamos a reta horizontal T = −2. A curva chega a T = −2 no primeiro vale (primeira ocorrência), sobe um pouco sem passar de T = 0, volta a T = −2 no segundo vale (segunda ocorrência), sobe novamente, desce ao terceiro vale tocando T = −2 (terceira ocorrência) e, a partir dali, inicia a subida definitiva, sem retornar. Após o terceiro vale a curva está sempre acima de −2. Portanto, há 3 instantes em que T = −2.

Subpasso 4.4 — Totalizar as anulações

O número total de vezes em que V se anulou é a soma das ocorrências de T = 2 com as de T = −2, pois os conjuntos são disjuntos (T não pode ser simultaneamente +2 e −2):

Total = 2 + 3 = 5 anulações.

Subpasso 4.5 — Verificação

Vamos checar coerência: a função V(t) é contínua porque T(t) é contínua e V é polinomial. Em cada instante em que V = 0, o gráfico de T passa exatamente por +2 ou −2. No intervalo [0; 10] identificamos 5 desses instantes. O resultado 5 corresponde à alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1

❌ Incorreta: Conta apenas uma das travessias — por exemplo, apenas o primeiro cruzamento por T = 2 na descida inicial — e ignora as demais. Esquece que V = 0 também ocorre em T = −2 e que há múltiplos vales.

B) 2

❌ Incorreta: Contabiliza apenas as passagens por T = 2 (descida inicial e subida final) e esquece completamente que T = −2 também zera V. É o erro típico de quem resolveu T² − 4 = 0 mas só considerou a raiz positiva.

C) 3

❌ Incorreta: Conta apenas os três mínimos em T = −2, mas esquece as duas travessias da reta T = 2 (uma na descida inicial, outra na subida final). É erro de quem prestou atenção só à parte central do gráfico.

D) 4

❌ Incorreta: Erro muito comum: contar 3 vales em T = −2 e apenas 1 das travessias em T = 2 (geralmente esquecendo a subida final, que está no canto direito do gráfico), ou então contar 2 em T = 2 e somente 2 dos 3 vales.

E) 5

✅ Correta: 2 passagens por T = 2 (descida inicial e subida final) mais 3 pontos de mínimo tocando T = −2, totalizando 5 instantes em que V = T² − 4 = 0.

🏆 Gabarito: E — A condição V = 0 corresponde a T = ±2, e o gráfico mostra 2 cruzamentos em T = 2 e 3 em T = −2, somando 5 anulações.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A letra E é a única resposta porque, ao sobrepor as retas T = 2 e T = −2 ao gráfico, encontramos exatamente 5 pontos de contato com a curva no intervalo [0; 10] h, e cada um desses pontos corresponde a um instante em que V = T² − 4 se anula.
• Padrão de cobrança: O ENEM costuma combinar uma fórmula simples (aqui, V = T² − 4) com um gráfico que o aluno precisa ler. O truque é sempre o mesmo: a condição pedida não é sobre a variável do eixo vertical diretamente, mas sobre uma função dela — é preciso "traduzir" a condição para o eixo vertical antes de contar.
• Generalização: Para contar quantas vezes uma função composta F(T(t)) = 0, resolva F(T) = 0 algebricamente, obtenha o conjunto finito de valores {T₁, T₂, …}, e conte as interseções do gráfico T(t) com cada reta horizontal T = Tᵢ. Pontos de tangência (vales/picos) contam como 1 ocorrência.
• Dica de eliminação rápida: Se você já identificou sozinho os 3 vales em T = −2, pode descartar de imediato A, B e, com mais atenção, C; fica a disputa entre D (4) e E (5). Um olhar para o início do gráfico (T ≈ 3,5 descendo) e para o final (T ≈ 3 subindo) mostra duas travessias por T = 2, garantindo o total 5.
• Conexões com outros temas: funções compostas, raízes de funções quadráticas (diferença de quadrados), leitura de gráficos em fenômenos físicos periódicos, e zeros de funções contínuas — temas que aparecem também em questões de cinemática e de análise de séries temporais.