Questão 136 — ENEM 2025Caderno amarelo · 2º Dia
No entorno de uma lagoa circular, cujo raio mede 1 km, há uma ciclovia. Devido aos frequentes roubos de bicicleta, a prefeitura planeja alocar policiais em posições estratégicas para patrulhar essa ciclovia, de forma a torná-la totalmente protegida. Um ponto da ciclovia é considerado protegido se houver pelo menos um policial a, no máximo, 200 m de distância daquele ponto, posicionado sobre a ciclovia. A figura ilustra um ponto P sobre a ciclovia, que estará protegido se houver pelo menos um policial posicionado sobre a região de cor cinza escuro.
Desconsidere a largura da pista da ciclovia e utilize 3 como aproximação para π.
Nessas condições, a quantidade mínima necessária de policiais a serem alocados ao longo dessa ciclovia para torná-la protegida é
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (comprimento de arco e divisão de circunferência)
- ⚡ Nível: Médio — exige converter distância linear em arco de circunferência e dividir o perímetro
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Geometria Plana; comprimento de arco; EM13MAT508
- 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual é o número mínimo de policiais necessários para proteger toda uma ciclovia circular de raio 1 km, se cada policial cobre 200 m ao redor de si?"
- Palavras-chave decisivas: raio 1 km, 200 m de distância, mínima quantidade
- Armadilha típica: Confundir raio com diâmetro, ou esquecer de usar π = 3 conforme o enunciado
- O que a resposta precisa demonstrar: Perímetro total da ciclovia dividido pelo comprimento protegido por cada policial (400 m)
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Comprimento da circunferência: C = 2πr; usando π = 3 e r = 1 km = 1000 m, temos C = 6000 m
- Cobertura por policial: Cada policial cobre 200 m à sua esquerda e 200 m à sua direita, totalizando 400 m de ciclovia protegida
- Divisão mínima: Para cobrir toda a ciclovia sem lacunas, o número de policiais = C ÷ cobertura por policial
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "raio mede 1 km" → o perímetro é 2π × 1000 m = 6000 m (com π = 3)
- Evidência 2: "pelo menos um policial a, no máximo, 200 m de distância" → cada policial protege um segmento de 400 m centrado nele
- Síntese: Dividindo 6000 m em segmentos de 400 m, cada policial cobre exatamente um segmento; o número de policiais é 6000 ÷ 400
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Calcular o perímetro da ciclovia
A ciclovia envolve uma lagoa circular de raio r = 1 km = 1000 m.
Comprimento da circunferência: C = 2 × π × r = 2 × 3 × 1000 = 6000 m
Subpasso 4.2 — Determinar a cobertura de cada policial
Um ponto P é protegido se houver pelo menos um policial dentro de 200 m sobre a ciclovia. Isso significa que cada policial protege todos os pontos num raio de 200 m ao longo da ciclovia — um segmento de comprimento 400 m (200 m para cada lado).
Subpasso 4.3 — Calcular o número mínimo de policiais
Para cobrir toda a ciclovia sem nenhum ponto desprotegido, posicionamos os policiais de modo que os segmentos se encostem sem lacunas:
Número de policiais = C ÷ 400 = 6000 ÷ 400 = 15
Subpasso 4.4 — Verificação
15 policiais × 400 m de cobertura = 6000 m = perímetro total. Todos os pontos estão a no máximo 200 m de um policial.
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 4. ❌ Incorreta: 4 policiais × 400 m = 1600 m, muito menos que os 6000 m necessários. Cobre apenas 26% da ciclovia.
B) 8. ❌ Incorreta: 8 × 400 m = 3200 m. Cobre apenas metade da ciclovia, deixando 2800 m desprotegidos.
C) 15. ✅ Correta: 15 × 400 m = 6000 m. Cobre exatamente toda a ciclovia com distâncias de no máximo 200 m entre cada policial e qualquer ponto.
D) 30. ❌ Incorreta: Seria suficiente, mas não é o mínimo. Com 30 policiais, haveria sobreposição de cobertura — cada ponto estaria a no máximo 100 m de um policial, o que é mais do que necessário.
E) 60. ❌ Incorreta: Quantidade muito superior ao mínimo; equivale a um policial a cada 100 m.
🏆 Gabarito: C — 15 é o único valor que divide exatamente o perímetro de 6000 m em segmentos de 400 m, garantindo cobertura total sem desperdício.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: 15 policiais são necessários e suficientes porque 6000 ÷ 400 = 15, sem sobras.
- Padrão de cobrança: O ENEM frequentemente usa comprimento de arco/circunferência em contextos práticos (ciclovia, pista, roda), sempre pedindo para usar uma aproximação de π.
- Generalização: Ao dividir um perímetro circular em partes iguais, calcule C = 2πr e divida pelo comprimento de cobertura. Lembre sempre de dobrar o alcance individual (200 m de cada lado = 400 m por policial).
- Dica de eliminação rápida: Calcule C = 6000 m mentalmente. Divida por 400 para obter 15. Elimine A e B (muito baixos) e D e E (muito altos) imediatamente.
- Conexões com outros temas: Proporcionalidade, divisão de grandezas; comprimento de arco em situações de engenharia e urbanismo.