Questão 141 — ENEM 2025 BelémCaderno azul · 2º Dia
Um vendedor de balões para festas comprou um recipiente cheio de gás hélio, no formato de cilindro circular reto com 40 cm de diâmetro interno da base e 1 m de altura. Ele vai adquirir balões em uma loja que só os vende em pacotes fechados, cada um com 5 balões esféricos que, após enchidos com gás hélio, têm 30 cm de diâmetro.
O volume adquirido desse gás, em condições normais de pressão, é igual a 12 vezes o volume do recipiente comprado. No caso dos balões esféricos, o volume de gás hélio no seu interior é igual à capacidade volumétrica desses balões quando cheios. O vendedor pretende encher o maior número possível de balões com o gás comprado.
O número mínimo de pacotes de balões que o vendedor deve comprar de forma a utilizar todo o volume de gás hélio adquirido é
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume de cilindro e esfera)
- ⚡ Nível: D — múltiplos cálculos envolvendo volumes e arredondamento para cima em função do pacote
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Grandezas e medidas; resolver problemas envolvendo volumes de sólidos e quantidades discretas
- 🏆 Gabarito: [LETRA] — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Com gás hélio equivalente a 12 vezes o volume do cilindro (D=40 cm, h=100 cm) e balões esféricos de D=30 cm, quantos pacotes de 5 balões precisam ser comprados no mínimo para usar todo o gás?"
- Palavras-chave decisivas: cilindro r=20 cm, h=100 cm, 12 volumes do recipiente, balões esféricos r=15 cm, pacote com 5 balões, maior número possível, mínimo de pacotes
- Armadilha típica: esquecer o fator 12 ou dividir volumes em unidades incompatíveis; também esquecer de arredondar pacotes para cima
- O que a resposta precisa demonstrar: cálculo do volume total de gás, cálculo do volume por balão, divisão e arredondamento para número inteiro de pacotes
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Volume do cilindro: V_cil = π · r² · h
- Volume da esfera: V_esf = (4/3) · π · r³
- Arredondamento para cima: quando se precisa atender integralmente uma quantidade, arredonda-se para o próximo inteiro
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "cilindro com 40 cm de diâmetro e 1 m de altura" → r = 20 cm, h = 100 cm
- Evidência 2: "gás hélio igual a 12 vezes o volume do recipiente" → V_gás = 12 · π · 20² · 100
- Evidência 3: "balões esféricos de 30 cm de diâmetro" → r_bal = 15 cm, V_bal = (4/3)π·15³
- Evidência 4: "pacotes com 5 balões" → após calcular n balões, n_pacotes = ⌈n/5⌉
- Síntese: volume total dividido pelo volume por balão fornece n balões; dividir por 5 e arredondar para cima
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Volume do gás V_cil = π · 20² · 100 = π · 400 · 100 = 40 000 π cm³ V_gás = 12 · 40 000 π = 480 000 π cm³
Subpasso 4.2 — Volume de 1 balão V_bal = (4/3) · π · 15³ = (4/3) · π · 3 375 = 4 · π · 1 125 = 4 500 π cm³
Subpasso 4.3 — Número de balões cheios n = V_gás / V_bal = 480 000 π / (4 500 π) = 480 000 / 4 500 = 320/3 ≈ 106,67
Como "pretende encher o maior número possível" e deve "utilizar todo o volume", ele encherá o máximo de balões e o gás excedente ficará em 1 balão parcialmente cheio (ou descartado). Rigorosamente, ele consegue encher 106 balões completos e sobra gás para um 107º balão parcial — o que significa que precisa de, no mínimo, 107 balões disponíveis.
Reavaliando o enunciado: "pretende encher o maior número possível de balões com o gás comprado" + "de forma a utilizar todo o volume de gás hélio adquirido". Portanto precisa haver pelo menos 107 balões disponíveis (106 cheios completamente + 1 que pode receber o excedente de gás hélio).
Subpasso 4.4 — Número de pacotes Cada pacote traz 5 balões. Para ter ≥ 107 balões: n_pacotes = ⌈107 / 5⌉ = ⌈21,4⌉ = 22
Subpasso 4.5 — Verificação 22 pacotes × 5 = 110 balões ≥ 107 ✓ 21 pacotes × 5 = 105 balões < 107 ✗ (insuficiente) Logo, o mínimo é 22 pacotes.
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 11. ❌ Incorreta: resulta de dividir 106 por 10 (em vez de 5) ou esquecer o fator 12, produzindo nº subestimado.
B) 12. ❌ Incorreta: é o próprio fator 12 (do volume de gás), não é o nº de pacotes.
C) 22. ✅ Correta: 107 balões ÷ 5 = 21,4 → arredondar para 22 pacotes.
D) 24. ❌ Incorreta: resultaria de considerar 120 balões (excesso) ou de arredondar o cálculo intermediário errado.
E) 25. ❌ Incorreta: corresponderia a encher 125 balões, mais do que o volume de gás comporta.
🏆 Gabarito: C — 22 pacotes atendem ao mínimo de 107 balões necessários.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: 22 pacotes = 110 balões, comportando os 106,67 balões de gás
- Padrão de cobrança: o ENEM cobra cálculo volumétrico + arredondamento de pacote (contagem discreta)
- Generalização: sempre que houver pacote fechado, arredondar para cima o quociente
- Dica de eliminação rápida: alternativas que não sejam múltiplas de 5 (quando cada pacote traz 5 balões) não precisam ser consideradas — verifique múltiplos e o teto (⌈⌉)
- Conexões com outros temas: razão e proporção, geometria espacial, funções teto/piso