Questão 136 — ENEM 2025 BelémCaderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume e área lateral de cilindros)
• ⚡ Nível: M — exige relacionar área lateral e volume de dois cilindros via sistema de equações
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Grandezas e medidas; resolver problemas que envolvam volumes de sólidos geométricos (H3 da área de Matemática)
• 🏆 Gabarito: [LETRA] — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dados dois cilindros retos de mesma área lateral, em que o 1º comporta 4/9 do volume V e o 2º comporta V exatamente, qual a razão R/r?"
• Palavras-chave decisivas: cilindro circular reto, mesma área lateral, comporta 4/9 de V e comporta V
• Armadilha típica: aplicar apenas a razão de volumes (9/4) sem usar a igualdade das áreas laterais que vincula altura e raio
• O que a resposta precisa demonstrar: uso de A_lat = 2πrh e V = πr²h, com eliminação das alturas

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do cilindro reto: V_cil = π · r² · h
• Área lateral do cilindro reto: A_lat = 2 · π · r · h
• Razão entre grandezas: quando duas grandezas compartilham parâmetros, isolamos a variável em comum (aqui, a altura)

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "comporta apenas 4/9 dessa quantidade" → V₁ = (4/9) · V, com V₁ = π · r² · h
• Evidência 2: "comporta exatamente a quantidade V" → V₂ = V, com V₂ = π · R² · H
• Evidência 3: "mantendo a mesma medida da área lateral" → 2πrh = 2πRH → r · h = R · H
• Síntese: usar a igualdade das áreas laterais para escrever H em função de h, R, r; depois dividir V₂ por V₁ e isolar R/r

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a expressão Das áreas laterais: 2πrh = 2πRH → H = (r · h) / R

Razão dos volumes: V₂ / V₁ = (π · R² · H) / (π · r² · h) = V / ((4/9) · V) = 9/4

Subpasso 4.2 — Executar o cálculo Substituindo H: (R² · H) / (r² · h) = (R² · (r · h / R)) / (r² · h) = (R · r · h) / (r² · h) = R / r

Portanto: R / r = 9/4

Subpasso 4.3 — Verificação Confere com a alternativa E (9/4). Faz sentido fisicamente: ao aumentar o raio e manter a área lateral, a altura diminui; mas como o volume depende de r², o ganho em raio supera a perda em altura. O resultado R/r = 9/4 é exatamente a razão dos volumes, um padrão elegante desse tipo de problema.

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 4/9 ❌ Incorreta: é a razão dos volumes V₁/V₂ invertida, sem usar a relação das áreas laterais.

B) 5/9 ❌ Incorreta: resulta de subtrair 4/9 de 1 (9/9 − 4/9 = 5/9), erro conceitual que ignora a relação entre volume e raio ao quadrado.

C) 5/4 ❌ Incorreta: origem em √(9/4) sem considerar que a altura varia junto; confunde razão linear com razão ao quadrado.

D) 3/2 ❌ Incorreta: vem de aplicar √(9/4) = 3/2, que seria a resposta caso as alturas fossem iguais (não é o caso aqui).

E) 9/4 ✅ Correta: é exatamente a razão dos volumes, pois a igualdade de áreas laterais cancela um fator r e um R, deixando R/r igual à razão entre os volumes.

🏆 Gabarito: E — pois, com áreas laterais iguais, a relação entre os volumes dos cilindros reduz-se diretamente a R/r.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: R/r = 9/4 é a única razão compatível com V₂/V₁ = 9/4 e A_lat₁ = A_lat₂
• Padrão de cobrança: ENEM costuma comparar dois sólidos com uma grandeza fixa (área ou perímetro) e outra variável (volume)
• Generalização: para dois cilindros de mesma área lateral, V₂/V₁ = R/r (pois V = (A_lat · r)/2)
• Dica de eliminação rápida: se você enxerga V = π·r²·h e A_lat = 2π·r·h, então V = (A_lat · r) / 2; logo, com A_lat iguais, a razão dos volumes é a razão dos raios
• Conexões com outros temas: razão e proporção, álgebra de expressões, sólidos de revolução