Questão 180 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia
Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.
A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
📚 Matérias Necessárias: Matemática → Combinatória (combinações sem repetição, princípio aditivo)
⚡ Nível: Médio — exige identificar os casos possíveis da restrição (≥ 3 cardiologistas) e somar os casos
🎯 Tema/Habilidade BNCC: Combinação — análise combinatória com restrição de quantidade mínima
🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
Comando reformulado: De quantas formas distintas é possível escolher 5 médicos entre 7 cardiologistas e 6 neurologistas, de modo que pelo menos 3 sejam cardiologistas?
Palavras-chave decisivas: equipe com 5 médicos, pelo menos 3 cardiologistas, máximo de maneiras distintas
Armadilha típica: Esquecer um dos casos (ex: 5 cardiologistas + 0 neurologistas), ou usar permutação em vez de combinação (a ordem não importa)
O que a resposta precisa demonstrar: Separar em 3 casos (3C+2N, 4C+1N, 5C+0N) e somar as combinações de cada caso
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
Combinação C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!): Número de maneiras de escolher k elementos de n, sem importar a ordem.
Princípio aditivo: Quando a seleção pode ser feita de várias formas exclusivas (casos), o total é a SOMA dos casos.
Princípio multiplicativo: Dentro de cada caso, escolher k cardiologistas E m neurologistas = C(7,k) × C(6,m).
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
Evidência 1: 7 cardiologistas e 6 neurologistas disponíveis
Evidência 2: Equipe de 5 médicos no total
Evidência 3: Pelo menos 3 cardiologistas → Casos: {3C+2N} ou {4C+1N} ou {5C+0N}
Síntese: Total = C(7,3)×C(6,2) + C(7,4)×C(6,1) + C(7,5)×C(6,0)
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Listar os casos possíveis
Caso 1: 3 cardiologistas + 2 neurologistas (3+2=5) ✓
Caso 2: 4 cardiologistas + 1 neurologista (4+1=5) ✓
Caso 3: 5 cardiologistas + 0 neurologistas (5+0=5) ✓
Subpasso 4.2 — Calcular cada caso usando combinações
Caso 1: C(7,3) × C(6,2) = 7!/(3!×4!) × 6!/(2!×4!) = 35 × 15 = 525
Caso 2: C(7,4) × C(6,1) = 7!/(4!×3!) × 6!/(1!×5!) = 35 × 6 = 210
Caso 3: C(7,5) × C(6,0) = 7!/(5!×2!) × 6!/(0!×6!) = 21 × 1 = 21
Subpasso 4.3 — Somar os casos (princípio aditivo)
Total = 525 + 210 + 21 = 756 maneiras distintas
A expressão numérica correspondente: [7!/(3!×4!) × 6!/(2!×4!)] + [7!/(4!×3!) × 6!/(1!×5!)] + [7!/(5!×2!) × 6!/(0!×6!)]
Subpasso 4.4 — Verificação
C(7,3)=35, C(6,2)=15: 35×15=525 ✓ | C(7,4)=35, C(6,1)=6: 35×6=210 ✓ | C(7,5)=21, C(6,0)=1: 21×1=21 ✓
Total: 525+210+21=756. A expressão E representa exatamente essa soma. ✓
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) [imagem: (7!/4!) × (6!/4!)]
❌ Incorreta: Esta expressão não usa a formula de combinação corretamente — falta dividir por k! no numerador. Além disso, não captura os três casos distintos da restrição.
B) [imagem: 7!/(3!×4!) × 6!/(2!×4!)]
❌ Incorreta: Esta expressão representa apenas o Caso 1 (3 cardiologistas + 2 neurologistas) = C(7,3)×C(6,2). Não inclui os outros dois casos possíveis com pelo menos 3 cardiologistas.
C) [imagem: 7!/(3!×4!) + 6!/(2!×4!) + 5!/(1!×4!)]
❌ Incorreta: Soma as combinações em vez de multiplicá-las por caso. Não usa o princípio multiplicativo (escolher cardiologistas E neurologistas dentro de cada caso requer multiplicação, não soma).
D) [imagem: (7!/(3!×4!) + 6!/(2!×4!)) × (7!/(4!×3!) + 6!/(1!×5!)) × (7!/(5!×2!) + 6!/(0!×6!))]
❌ Incorreta: Multiplica as somas dos casos em vez de somar os produtos. A estrutura deveria ser (soma das parcelas), onde cada parcela = produto de dois C(n,k). Esta expressão mistura os casos incorretamente.
E) [imagem: (7!/(3!×4!) × 6!/(2!×4!)) + (7!/(4!×3!) × 6!/(1!×5!)) + (7!/(5!×2!) × 6!/(0!×6!))]
✅ Correta: Soma dos três casos possíveis. Caso 1: C(7,3)×C(6,2); Caso 2: C(7,4)×C(6,1); Caso 3: C(7,5)×C(6,0). Cada caso usa o princípio multiplicativo; os casos são mutuamente exclusivos e somados pelo princípio aditivo.
🏆 Gabarito: E — Total = C(7,3)×C(6,2) + C(7,4)×C(6,1) + C(7,5)×C(6,0) = 525 + 210 + 21 = 756 maneiras.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
Reafirmação do gabarito: ≥ 3 cardiologistas em equipe de 5 gera 3 casos (3C+2N, 4C+1N, 5C+0N). Cada caso = produto de combinações; total = soma dos casos. Expressão E representa exatamente isso.
Padrão de cobrança: Questões de combinatória com 'pelo menos' no ENEM sempre requerem enumeração dos casos favoráveis. Não esquecer o caso extremo (todos do tipo exigido).
Generalização: 'Pelo menos k' → casos: exatamente k, exatamente k+1, ..., até o máximo possível. Para cada caso: C(n₁, kᵢ) × C(n₂, mᵢ) onde kᵢ+mᵢ = tamanho da equipe.
Dica de eliminação rápida: A expressão correta deve ter 3 parcelas (3 casos) unidas por + (aditivo), e cada parcela deve ter 2 fatores unidos por × (multiplicativo). Elimine alternativas com estrutura diferente.
Conexões com outros temas: Análise combinatória (arranjos, permutações), probabilidade (espaço amostral), Binômio de Newton.