Questão 166 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão e Proporção + Porcentagem (densidade demográfica como razão)

⚡ Nível: Fácil — aplicação direta da definição de densidade demográfica com substituição de valores fracionários

🎯 Tema/Habilidade BNCC: Grandezas e medidas — razão entre grandezas, manipulação de frações

🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

Comando reformulado: Sabendo que área de Q = (3/4) área de R e habitantes de Q = (1/2) habitantes de R, calcule a relação entre d(Q) e d(R).

Palavras-chave decisivas: densidade demográfica = habitantes/área, três quartos da área, metade dos habitantes

Armadilha típica: Substituir os valores fracionários sem simplificar corretamente, ou inverter qual fração pertence à área e qual pertence aos habitantes

O que a resposta precisa demonstrar: Calcular d(Q) = habitantes_Q / área_Q = (H_R/2) / (3A_R/4) e simplificar em função de d(R) = H_R/A_R

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

Densidade demográfica: d = número de habitantes / área territorial (hab/km²)

Divisão de frações: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = ad/(bc)

Fator de escala: Se área aumenta, densidade diminui (proporcionalidade inversa). Se população aumenta, densidade aumenta (proporcionalidade direta).

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

Evidência 1: "a área de Q é igual a três quartos da área de R" → área_Q = (3/4) × área_R

Evidência 2: "o número de habitantes de Q é igual à metade do número de habitantes de R" → hab_Q = (1/2) × hab_R

Síntese: d(Q) = hab_Q / área_Q = (hab_R/2) / (3×área_R/4). Basta calcular essa razão e expressar em função de d(R) = hab_R / área_R.

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Definir variáveis

Seja H = número de habitantes de R e A = área de R.

Então: hab_Q = H/2 e área_Q = 3A/4

Subpasso 4.2 — Calcular d(Q)

d(Q) = hab_Q / área_Q = (H/2) ÷ (3A/4)

d(Q) = (H/2) × (4/3A) = 4H / (6A) = (2/3) × (H/A)

Subpasso 4.3 — Expressar em função de d(R)

Como d(R) = H/A, temos: d(Q) = (2/3) × d(R)

Subpasso 4.4 — Verificação intuitiva

Q tem metade dos habitantes (fator 1/2) e três quartos da área (fator 3/4). Densidade: (1/2)/(3/4) = (1/2)×(4/3) = 2/3. Logo d(Q) = (2/3)d(R). ✓

Faz sentido: Q tem proporcionalmente menos habitantes por área que R (metade da população em 3/4 da área → menos denso).

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) [imagem: d(Q) = (1/4)d(R)]

❌ Incorreta: Corresponderia a hab_Q/área_Q = (1/4)(H/A), o que implicaria (H/2)/(3A/4) = H/4A — falso. Ou seja, 4H/6A ≠ H/4A. O erro é multiplicar as duas frações (1/2 × 1/2 = 1/4) em vez de dividir.

B) [imagem: d(Q) = (1/2)d(R)]

❌ Incorreta: Equivaleria a considerar que apenas o numerador (população) importa, ignorando que a área também é menor (3/4 de R). Se a área fosse igual à de R, d(Q) = (1/2)d(R) — mas área_Q é 3/4 de A, não A inteiro.

C) [imagem: d(Q) = (3/4)d(R)]

❌ Incorreta: Corresponderia a considerar apenas a fração da área (3/4) como fator determinante, ignorando que a população também é fracionada. Se a população fosse igual à de R, d(Q) = (1/(3/4))d(R) = (4/3)d(R) — não (3/4).

D) [imagem: d(Q) = (3/2)d(R)]

❌ Incorreta: Inverteria a relação — d(Q) > d(R) implicaria que Q é mais densa que R. Como Q tem proporcionalmente menos habitantes por unidade de área que R, sua densidade deve ser menor. 3/2 > 1, contradição.

E) [imagem: d(Q) = (2/3)d(R)]

✅ Correta: d(Q) = (H/2)/(3A/4) = (4H)/(6A) = (2/3)(H/A) = (2/3)d(R). Q tem 2/3 da densidade de R — menos densa, o que é coerente com metade da população em 3/4 da área.

🏆 Gabarito: E — d(Q) = (2/3)d(R). Fator de escala: (1/2)÷(3/4) = 2/3.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

Reafirmação do gabarito: d(Q)/d(R) = (hab_Q/área_Q)/(hab_R/área_R) = (hab_Q/hab_R)×(área_R/área_Q) = (1/2)÷(3/4) = (1/2)×(4/3) = 2/3.

Padrão de cobrança: Questões de densidade demográfica no ENEM geralmente apresentam variações proporcionais de população e área e pedem a nova densidade. A chave é lembrar que densidade = pop/área (divisão, não multiplicação).

Generalização: Se pop_Q = k₁×pop_R e área_Q = k₂×área_R, então d(Q) = (k₁/k₂)×d(R). Basta dividir os dois fatores de escala.

Dica de eliminação rápida: Calcule o fator de escala diretamente — pop: ×(1/2), área: ×(3/4). Razão = (1/2)÷(3/4) = 2/3. Apenas a alternativa E tem 2/3.

Conexões com outros temas: Densidade demográfica (Geografia), concentração de soluções (Química — mol/L), pressão e volume em gases (Física — PV = nRT).