Questão 157 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia
Uma doceira vende e entrega, em seu bairro, porções de 100 g de docinhos de aniversário. Atualmente, a taxa única de entrega é R$ 10,00, e o valor cobrado por uma porção é R$ 25,00. Por uma estratégia de vendas, a partir da próxima semana, a taxa única de entrega será R$ 15,00, e um novo valor será cobrado por uma porção, de maneira que o valor total a ser pago por um cliente na compra de 5 porções permaneça o mesmo.
A partir da próxima semana, qual será o novo valor cobrado, em real, por uma porção?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Álgebra — Equações do 1º Grau e Modelagem de Preços
- ⚡ Nível: Médio — encontrar o novo preço da porção de docinhos para que o cliente pague o mesmo total com a nova taxa de entrega
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Álgebra — equações do 1° grau e modelagem de situações cotidianas (EM13MAT302)
- 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual deve ser o novo preço por porção para que o cliente que compra n porções pague o mesmo valor total após a mudança na taxa de entrega?"
- Palavras-chave decisivas: mesmo valor total, nova taxa R$ 15,00, antigo preço R$ 25,00 por porção, taxa antiga R$ 10,00
- Armadilha típica: Não definir para quantas porções o total deve ser igual, ou calcular o novo preço sem usar a condição de igualdade de totais
- O que a resposta precisa demonstrar: encontrar p_novo tal que o total com o novo esquema seja igual ao total com o esquema atual para um dado número de porções
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Custo total atual: C_atual = 10 + 25n (taxa fixa + preço por porção × número de porções)
- Custo total novo: C_novo = 15 + p × n (nova taxa + novo preço × porções)
- Condição de igualdade: C_atual = C_novo para um valor específico de n
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Dado 1: "taxa atual de entrega R$ 10,00" → componente fixo atual
- Dado 2: "porção atual: R$ 25,00" → preço variável atual
- Dado 3: "nova taxa de entrega: R$ 15,00" → novo componente fixo (R$ 5,00 maior)
- Dado 4: "encontrar novo preço p tal que clientes prefiram ou mantenham o total" → igualar totais
- Síntese: 10 + 25n = 15 + p × n → p = 25 − 5/n. Para n específico fornecido no enunciado, calcular p.
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Montar a equação de igualdade
10 + 25n = 15 + p × n
Subpasso 4.2 — Resolver para p
25n − p × n = 15 − 10 = 5 n(25 − p) = 5 25 − p = 5/n p = 25 − 5/n
Subpasso 4.3 — Determinar n a partir do gabarito C = 24,00
Se p = 24,00: 24 = 25 − 5/n 5/n = 1 n = 5 porções
Subpasso 4.4 — Verificação
Com n = 5 porções:
- Total atual: 10 + 25×5 = 10 + 125 = R$ 135,00
- Total novo: 15 + 24×5 = 15 + 120 = R$ 135,00 ✓
Os totais são iguais para 5 porções. O enunciado estabelece que n = 5 (ou a condição equivalente).
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 12,50. ❌ Incorreta: com p = 12,50 e n = 5: total novo = 15 + 62,50 = 77,50 ≠ 135 (total atual). Isso corresponderia a n muito diferente ou a uma interpretação incorreta do problema.
B) 20,00. ❌ Incorreta: com p = 20,00 e n = 5: total novo = 15 + 100 = 115 ≠ 135. Não iguala o total atual para n = 5.
C) 24,00. ✅ Correta: com p = 24,00 e n = 5: total novo = 15 + 120 = 135 = total atual ✓. O novo preço de R$ 24,00 por porção garante que o cliente paga o mesmo total de R$ 135,00.
D) 30,00. ❌ Incorreta: com p = 30,00 e n = 5: total novo = 15 + 150 = 165 > 135. O cliente pagaria mais com o novo esquema.
E) 37,50. ❌ Incorreta: o novo preço acima de R$ 25,00 elevaria o total do cliente acima do atual. Não faz sentido como estratégia de vendas (o objetivo é manter ou atrair clientes).
🏆 Gabarito: C — O novo preço de R$ 24,00 por porção garante que o cliente paga o mesmo total de R$ 135,00 (para 5 porções) com a nova taxa de entrega de R$ 15,00.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: C = R$ 24,00 é o único preço que iguala os totais (10 + 25×5 = 15 + 24×5 = 135) para n = 5 porções.
- Padrão de cobrança: Problemas de igualdade de custos com mudança de tarifas são frequentes no ENEM em contextos de comércio, serviços e consumo.
- Generalização: Para igualar C₁ = a₁ + b₁n com C₂ = a₂ + b₂n: b₂ = (a₁ − a₂)/n + b₁ = b₁ − (a₂ − a₁)/n. Como a₂ > a₁, o novo preço por unidade deve ser menor que o atual.
- Dica de eliminação rápida: Como a taxa aumentou R$ 5,00 e devemos compensar com redução no preço por porção, o novo preço deve ser MENOR que R$ 25,00. Eliminar D e E imediatamente. Calcular p = 25 − 5/n para o n do enunciado.
- Conexões com outros temas: Funções afins, ponto de equilíbrio, equações do 1° grau.