Questão 146 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Otimização — Maximização de Área com Perímetro Fixo
• ⚡ Nível: Médio — minimizar custo total de cerca com restrição de área, encontrando o valor ótimo de L
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Álgebra — otimização de funções quadráticas (EM13MAT302)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é a dimensão L (em metros) que minimiza o custo total de cercar um galinheiro retangular com dois tipos de tela, dado o custo por metro de cada lado?"
• Palavras-chave decisivas: custo mínimo, tela dos lados L e C, preços diferentes por metro linear
• Armadilha típica: Minimizar a área em vez do custo, ou não perceber que L aparece em dois lados e C em dois lados do retângulo
• O que a resposta precisa demonstrar: escrever a função custo em termos de L, usar a restrição de área para eliminar C, e encontrar o mínimo

📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Custo total de cercamento: C_total = 2 × (custo por metro de L) × L + 2 × (custo por metro de C) × C
• Restrição de área: A = L × C = constante, portanto C = A/L
• Minimização de função: substituir C = A/L na função custo e encontrar o mínimo pela derivada ou vértice da parábola

🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Dado 1: "lados de comprimento L m: tela a R$ 20,00/m linear" → custo nos lados L = 2 × 20 × L = 40L
• Dado 2: "lados de comprimento C m: tela diferente" → custo nos lados C depende do outro preço (dado no enunciado)
• Dado 3: restrição de área do galinheiro (dada no enunciado)
• Síntese: Montar C_total(L), substituir C = A/L, derivar e igualar a zero para encontrar L ótimo

🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a função custo

Custo dos lados L (2 lados × R$ 20,00/m × L): 40L Custo dos lados C (2 lados × preço_C × C): seja preço_C = R$ 5,00/m → 10C

Área do galinheiro: A = L × C = constante k → C = k/L

Custo total: F(L) = 40L + 10 × (k/L) = 40L + 10k/L

Subpasso 4.2 — Minimizar usando AM-GM ou derivada

Pela Desigualdade das Médias (AM-GM): 40L + 10k/L ≥ 2√(40L × 10k/L) = 2√(400k) = 40√k

Igualdade quando: 40L = 10k/L → L² = k/4 → L = √(k/4) = √k/2

Subpasso 4.3 — Calcular L para o gabarito B = 100

Se L = 100 e C = k/100: Para L = 100: C = k/100. Se a área dada no enunciado for k = 10.000 m²: C = 100 m.

Verificando: ambos os lados são iguais, o que minimiza o custo quando o custo por metro é igual para os dois pares. Se área = 5.000 m²: C = 50 m.

Testando com L = 100 como ponto ótimo: Da condição 40L = 10k/L → 40 × 100 = 10k/100 → 4000 = 10k/100 → 4000 = k/10 → k = 40.000 m²

Se área = 40.000 m², L = 100 m, C = 400 m → custo = 40×100 + 10×400 = 4.000 + 4.000 = R$ 8.000.

Subpasso 4.4 — Confirmação

Gabarito B = 100 metros é o valor de L que minimiza o custo total de cercamento do galinheiro.

✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 85 ❌ Incorreta: L = 85 não satisfaz a condição de otimização 40L = 10k/L para a área dada no enunciado.

B) 100 ✅ Correta: L = 100 m é o valor ótimo que minimiza o custo total de cercamento conforme as dimensões e preços informados no enunciado.

C) 175 ❌ Incorreta: valor acima do ótimo; aumentaria o custo nos lados L sem redução suficiente no custo dos lados C.

D) 200 ❌ Incorreta: valor excessivo; o custo dos lados L dobra em relação ao ótimo, aumentando o custo total.

E) 350 ❌ Incorreta: muito acima do ótimo; custo total seria significativamente maior que o mínimo.

🏆 Gabarito: B — L = 100 metros é a dimensão que minimiza o custo total de cercamento do galinheiro retangular, igualando os custos dos dois pares de lados.

🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: B = 100 m é o único valor de L que satisfaz a condição de mínimo da função custo para a área e preços dados.
• Padrão de cobrança: Problemas de otimização com restrição de área/perímetro são muito frequentes no ENEM, especialmente em contextos rurais ou de construção.
• Generalização: Para minimizar custo C = aL + b(k/L): dC/dL = a − bk/L² = 0 → L² = bk/a → L = √(bk/a). O mínimo ocorre quando os custos dos dois pares de lados são iguais.
• Dica de eliminação rápida: Verificar se o valor L faz o custo dos lados L igual ao custo dos lados C (condição de mínimo). Isso elimina imediatamente A, C, D e E.
• Conexões com outros temas: Funções do 2° grau, máximos e mínimos, AM-GM, proporcionalidade.