Questão 142 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia
Uma criança, utilizando um aplicativo, escreveu uma mensagem para enviar a um amigo. Essa mensagem foi escrita seguindo estas etapas:
A criança seguiu copiando e colando, em cada etapa, o que tinha no visor na etapa imediatamente anterior, até concluir a 20ª etapa. Em seguida, enviou a mensagem.
Qual foi o total de figuras contidas na mensagem enviada?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressão Geométrica (PG) + Potenciação
⚡ Nível: Médio — exige identificar o padrão de crescimento e aplicar PG corretamente
🎯 Tema/Habilidade BNCC: Progressões e sequências — reconhecer padrão geométrico e calcular o termo geral
🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
Comando reformulado: Quantas figuras (emojis) a mensagem enviada contém após 20 etapas do processo de cópia-e-cola?
Palavras-chave decisivas: etapas, copiou e colou ao lado, 20ª etapa
Armadilha típica: Confundir o número de figuras na 20ª etapa com 3×2²⁰ — esquecendo que a 1ª etapa já tem 3 figuras = 3×2⁰, não 3×2¹
O que a resposta precisa demonstrar: Identificar que cada etapa dobra a quantidade da etapa anterior, formando uma PG de razão 2, e calcular o termo correto
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
Progressão Geométrica (PG): Sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão (q). Termo geral: aₙ = a₁ × q^(n−1)
Potenciação — duplicação: A cada etapa de cópia-e-cola, a quantidade dobra, multiplicando por 2. Propriedade: a cada passo, o expoente cresce 1
Contagem por etapa: Etapa 1 = 3 figuras; Etapa 2 = 6; Etapa 3 = 12; ... Etapa n = 3 × 2^(n−1)
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
Evidência 1: "inseriu três figuras do tipo 😊 no visor" → etapa 1 começa com exatamente 3 figuras (a₁ = 3)
Evidência 2: "copiou o que havia anteriormente e inseriu o que havia copiado ao lado" → cada etapa cola uma cópia igual ao lado, dobrando a quantidade (razão q = 2)
Evidência 3: "seguiu copiando e colando até concluir a 20ª etapa" → precisamos calcular o 20º termo da PG
Síntese: PG com a₁ = 3 e q = 2. A quantidade de figuras na etapa n é aₙ = 3 × 2^(n−1). Na 20ª etapa: a₂₀ = 3 × 2¹⁹
🧠 Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Montar a tabela de etapas
Etapa 1: 3 figuras = 3 × 2⁰
Etapa 2: 6 figuras = 3 × 2¹
Etapa 3: 12 figuras = 3 × 2²
Etapa 4: 24 figuras = 3 × 2³
Etapa n: 3 × 2^(n−1) figuras
O padrão é inequívoco: cada etapa dobra a anterior. Razão q = 2, primeiro termo a₁ = 3.
Subpasso 4.2 — Aplicar o termo geral na etapa 20
a₂₀ = 3 × 2^(20−1) = 3 × 2¹⁹
Subpasso 4.3 — Verificação
Etapa 1: 3 × 2⁰ = 3 ✓ | Etapa 2: 3 × 2¹ = 6 ✓ | Etapa 3: 3 × 2² = 12 ✓
Etapa 20: 3 × 2¹⁹ → corresponde à alternativa A ✓
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) [imagem: 3 × 2¹⁹]
✅ Correta: Aplicação exata do termo geral da PG: a₂₀ = 3 × 2^(20−1) = 3 × 2¹⁹. A etapa 1 tem expoente 0, então a etapa 20 tem expoente 19.
B) [imagem: 3 × 2²⁰]
❌ Incorreta: Corresponde ao 21º termo (a₂₁), não ao 20º. Erro clássico: usar n no expoente em vez de (n−1), esquecendo que a₁ = 3 × 2⁰.
C) [imagem: 3 × 2²¹]
❌ Incorreta: Equivale ao 22º termo da PG — o expoente está dois passos à frente do correto. Confunde a numeração da etapa com o expoente diretamente.
D) [imagem: 3 × 2²⁰ − 1]
❌ Incorreta: Não há subtração no processo descrito. Essa expressão não corresponde a nenhum padrão da sequência; parece um ajuste arbitrário sem fundamentação.
E) [imagem: 3 × 2²⁰ − 3]
❌ Incorreta: Equivale a 3(2²⁰ − 1), que é a soma dos n primeiros termos de uma PG — confunde quantidade de figuras em uma única etapa com o total acumulado de todas as etapas.
🏆 Gabarito: A — O processo de cópia-e-cola gera uma PG de razão 2 com a₁ = 3. O 20º termo é exatamente 3 × 2¹⁹.
🏁 Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
Reafirmação do gabarito: Na etapa 1 há 3 figuras (expoente 0). A cada etapa o expoente cresce 1. Na etapa 20, o expoente é 19 → 3 × 2¹⁹.
Padrão de cobrança: O ENEM frequentemente embala PG em situações cotidianas — redes sociais, compartilhamentos virais, crescimento celular. O desafio é sempre identificar o padrão multiplicativo.
Generalização: Sempre que um processo duplica a cada passo, a quantidade na etapa n é a₁ × 2^(n−1). O expoente é SEMPRE (n−1), nunca n.
Dica de eliminação rápida: Calcule as 3 primeiras etapas manualmente (3, 6, 12) e veja qual alternativa bate com esse padrão. Elimine C e D de imediato; entre A e B, lembre que etapa 1 = expoente 0.
Conexões com outros temas: Juros compostos (crescimento geométrico financeiro), probabilidade em experimentos sucessivos, duplicação celular em Biologia.