Questão 137 — ENEM 2023 PPL

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Matemática → Sequências (identificar lei de formação) + Recursões + Soma de termos + Análise de padrão em tabela.
• Nível: Médio — exige identificar a lei a_n = 2·a_{n-1} − 1 a partir dos valores 3, 5, 9, 17, 33, depois estendê-la por mais 5 anos e somar todos os 10 lucros.
• Tema/Habilidade BNCC: análise de padrões numéricos em contextos reais.
• Gabarito: D — 2 056.

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dados os lucros: 2005→3, 2006→5, 2007→9, 2008→17, 2009→33 (em milhares de reais), qual o lucro total acumulado de 2005 a 2014, se a lei de formação se mantiver?"
• Palavras-chave decisivas: padrão de crescimento observado, mantido por mais 5 anos, lucro total de 2005 a 2014.
• Armadilha típica: interpretar como PG de razão 2 (3, 6, 12, 24...) em vez da lei correta a_n = 2·a_{n-1} − 1.
• Critério de acerto: detectar a lei "dobra e subtrai 1": 3 → 2·3−1 = 5 ✓; 5 → 2·5−1 = 9 ✓; 9 → 2·9−1 = 17 ✓; 17 → 2·17−1 = 33 ✓. Estender e somar.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Identificação de padrão: quando valores não formam PA (diferenças constantes) nem PG pura (razão constante), verificar recursão linear com termo constante.
• Recursão a_n = 2·a_{n-1} − 1:

- Solução fechada: a_n = 2^n + 1. De fato, a_1 = 3 = 2^1+1, a_2 = 5 = 2^2+1, a_3 = 9 = 2^3+1 ✓

• Soma dos 10 primeiros termos da forma 2^n + 1:

- ∑_{n=1}^{10} (2^n + 1) = (2^1 + 2^2 + ... + 2^10) + 10·1

- ∑ 2^n de n=1 a 10 = 2^(10+1) − 2 = 2048 − 2 = 2046.

- Total = 2046 + 10 = 2 056 ✓

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: valores iniciais 3, 5, 9, 17, 33 em ordem.
• Evidência 2: pede soma acumulada de 10 anos (2005-2014).
• Evidência 3: "padrão mantido" → extensão da lei.
• Síntese: identificar a lei, gerar até o 10º termo, somar.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar a lei de formação

• Diferenças: 5−3=2; 9−5=4; 17−9=8; 33−17=16 → diferença dobra (PG de razão 2 entre as diferenças!).
• Testando recursão: a_n = 2·a_{n-1} − 1.

- 2·3 − 1 = 5 ✓; 2·5 − 1 = 9 ✓; 2·9 − 1 = 17 ✓; 2·17 − 1 = 33 ✓

• Também: a_n = 2^n + 1 (fórmula fechada).

Subpasso 4.2 — Gerar os 10 termos

| Ano | n | a_n = 2^n + 1 |

|---|---|---|

| 2005 | 1 | 3 |

| 2006 | 2 | 5 |

| 2007 | 3 | 9 |

| 2008 | 4 | 17 |

| 2009 | 5 | 33 |

| 2010 | 6 | 65 |

| 2011 | 7 | 129 |

| 2012 | 8 | 257 |

| 2013 | 9 | 513 |

| 2014 | 10 | 1 025 |

Subpasso 4.3 — Soma acumulada

$$

S = \sum_{n=1}^{10} (2^n + 1) = \left(\sum_{n=1}^{10} 2^n\right) + 10 = (2^{11} - 2) + 10

$$

$$

S = 2\,048 - 2 + 10 = 2\,056

$$

Subpasso 4.4 — Verificação somando termo a termo

• 3 + 5 + 9 + 17 + 33 = 67
• 65 + 129 + 257 + 513 + 1025 = 1 989
• Total = 67 + 1 989 = 2 056 ✓

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 120.

❌ Incorreta. Valor pequeno demais; talvez soma errada dos primeiros 5 termos ou valor isolado de algum ano.

B) 134.

❌ Incorreta. Valor próximo à soma parcial (67 + 65 = 132 ≈ 134); erro de contagem.

C) 1 025.

❌ Incorreta — armadilha. É apenas o último termo (a_10), não a soma. Aluno que calcula só a_10 cai aqui.

D) 2 056. ✅ Correta.

Soma completa dos 10 termos da sequência a_n = 2^n + 1, de n=1 a n=10.

E) 2 074.

❌ Incorreta. Valor próximo (2074 ≠ 2056); erro aritmético (somou +18 extras em algum lugar).

🏆 Gabarito: D — 2 056.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: reconhecer recursão a_n = 2·a_{n-1} − 1, escrever fórmula fechada a_n = 2^n + 1 e somar.
• Padrão de cobrança ENEM: sequências com lei não-trivial em contexto financeiro são recorrentes. Testar "dobra e ajusta" ou "soma constante".
• Generalização: Regra das somas —

- Soma PG: S = a_1 · (q^n − 1)/(q − 1).

- Soma de (2^n + c): ∑2^n + n·c, com ∑_{n=1}^{k} 2^n = 2^{k+1} − 2.

• Dica de eliminação: C (1 025) é o último termo, não a soma. Aluno deve sempre distinguir a_n de S_n.
• Conexões: torres de Hanoi (recursão 2a+1), dobras de papel (2^n), crescimento populacional, juros compostos.