Questão 110 — ENEM 2023 PPL

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Matemática → Função exponencial + Progressão geométrica + Análise de tabela e gráfico.
• Nível: Médio — exige identificar o padrão multiplicativo (cada oitava dobra a frequência) e interpretar isso como função exponencial crescente.
• Tema/Habilidade BNCC: relações funcionais e interpretação de gráficos em contextos reais.
• Gabarito: B — a frequência cresce exponencialmente com n.

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Analisando a tabela de notas Lá (n = −2, −1, 0, 1, 2, 3 → 110, 220, 440, 880, 1760, 3520 Hz) e o gráfico contínuo, qual afirmação é verdadeira?"
• Palavras-chave decisivas: cada oitava dobra a frequência, função contínua, Lá de referência = 440 Hz, n oitavas abaixo ou acima.
• Armadilha típica: marcar A (variação constante 2) — 2 é a razão da PG, não a variação (diferença) entre termos.
• Critério de acerto: reconhecer que f(n) = 440 · 2ⁿ é uma função exponencial de base 2, crescente em todo o domínio real.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Progressão geométrica (PG): sequência onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão q constante. Aqui, q = 2.
• Função exponencial: f(x) = a · bˣ, com a > 0 e b > 0, b ≠ 1. Se b > 1, é crescente em todo ℝ; se 0 < b < 1, é decrescente.
• Oitava em música: intervalo entre duas notas cuja frequência é exatamente o dobro. A escala ocidental tem 12 semitons por oitava (fator 2^(1/12) por semitom).
• Análise da tabela:

- De n=−2 para n=−1: 110 → 220 (razão 2).

- De n=−1 para n=0: 220 → 440 (razão 2).

- De n=0 para n=1: 440 → 880 (razão 2).

- De n=1 para n=2: 880 → 1760 (razão 2).

- De n=2 para n=3: 1760 → 3520 (razão 2).

• Padrão confirmado: f(n) = 440 · 2ⁿ, exponencial crescente.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (tabela): valores em PG de razão 2 → confirma exponencial de base 2.
• Evidência 2 (função contínua): o gráfico passa por todos os pontos da tabela e é uma curva crescente sem inflexão, típica de exponencial.
• Evidência 3 (base > 1): função é crescente em todo domínio, não apenas para n > 0.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Modelar a relação

• f(0) = 440 (referência).
• f(1) = 880 = 440 · 2¹.
• f(2) = 1760 = 440 · 2².
• f(−1) = 220 = 440 · 2⁻¹.
• f(−2) = 110 = 440 · 2⁻².
• Fórmula geral: f(n) = 440 · 2ⁿ.

Subpasso 4.2 — Classificar a função

• f(n) = 440 · 2ⁿ é exponencial com base 2.
• Como 2 > 1, é crescente em todo ℝ (não só acima de 0).
• É sempre positiva (exponenciais nunca cruzam o eixo x).

Subpasso 4.3 — Avaliar cada alternativa

| Alternativa | Afirmação | Verdadeira? |

|---|---|---|

| A | variação constante = 2 | ✗ (2 é razão multiplicativa, não diferença aditiva) |

| B | cresce exponencialmente com n | ✓ |

| C | variação de 110 Hz por oitava | ✗ (variação depende da oitava) |

| D | decrescente entre −2 e 0 | ✗ (crescente em todo domínio) |

| E | decrescente abaixo de 0, crescente acima | ✗ (sempre crescente) |

Subpasso 4.4 — Comprovar que A e C são "armadilhas de PG"

• Em uma PG, a razão é constante (q = 2), não a variação. A diferença entre termos é: 220−110=110; 440−220=220; 880−440=440 → cresce (dobrando). Logo, A está errada.
• C tenta enganar afirmando "variação de 110 Hz por oitava", mas de n=0 para n=1 a variação é 440 Hz, não 110. Varia de acordo com a oitava.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) a variação da frequência da nota Lá é constante e igual a 2.

❌ Incorreta — confunde razão com variação. O fator multiplicativo (razão) é 2, mas a diferença (variação aritmética) dobra a cada oitava (110, 220, 440, 880 Hz...).

B) a frequência da nota Lá cresce exponencialmente em função do número n de oitavas. ✅ Correta.

f(n) = 440·2ⁿ é exponencial de base 2, crescente em todo o domínio.

C) para cada oitava acima da nota Lá usada como referência, a variação da frequência é 110 hertz.

❌ Incorreta. Variação de n=0→1 é 440 Hz; 110 Hz é só a variação entre n=−2 e n=−1. A variação cresce, não é constante.

D) a função que estabelece a relação entre o número de oitavas e a frequência da nota Lá é decrescente somente entre −2 e 0.

❌ Incorreta. A função é crescente em todo ℝ (não há intervalo decrescente). De 110 (n=−2) para 440 (n=0), os valores aumentam.

E) a função que estabelece a relação entre o número de oitavas e a frequência da nota Lá é decrescente para as oitavas abaixo e crescente para as oitavas acima do Lá usado como referência.

❌ Incorreta. Mesmo para oitavas "abaixo" (n < 0), a função continua crescente com n: frequência aumenta conforme n cresce.

🏆 Gabarito: B — crescimento exponencial.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: PG com razão > 1 ⇔ função exponencial crescente. É assim para oitavas, juros compostos, crescimento populacional etc.
• Padrão de cobrança ENEM: modelagem de fenômenos com PG/exponencial (juros compostos, decaimento radioativo, pH, escala musical). Identificar "o valor dobra / triplica / divide por 2 a cada intervalo" = assinatura exponencial.
• Generalização: Regra da PG — razão q = termo_n+1 / termo_n constante → f(n) = a·qⁿ → função exponencial.
• Dica de eliminação: A e C tentam impor "constância aditiva" a uma PG → erradas. D e E inventam intervalos de decrescimento que não existem na base 2 > 1.
• Conexões: escala temperada, 12 semitons por oitava (2^(1/12)), função logarítmica (inversa), escala decibel, pH, escala Richter.