Questão 106 — ENEM 2023 PPL
Duas pessoas saem de suas casas para se exercitarem numa pista retilínea cujo comprimento é D. Elas percorrem todo o percurso e, ao final dele, retornam ao ponto de partida pelo mesmo caminho. A primeira delas caminha com velocidade de módulo v, e a segunda corre com uma velocidade de módulo 2v. As duas partem do mesmo ponto, no mesmo instante.
A distância percorrida pela segunda pessoa até o ponto em que as duas se encontram pela primeira vez é
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Física → Cinemática escalar (MRU) + Encontro de móveis + Velocidade relativa + raciocínio com intervalos de tempo.
- Nível: Médio — exige não cair na armadilha "encontram-se no meio" (falso, pois um chega ao fim antes); o truque é dividir o movimento em duas fases: antes e depois de o segundo chegar ao final.
- Tema/Habilidade BNCC: movimento retilíneo uniforme e interpretação de situações cotidianas.
- Gabarito: C — 4D/3.
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Dois andarilhos saem do mesmo ponto, com velocidades v e 2v, numa pista retilínea de ida e volta de comprimento D. Onde se encontram pela primeira vez, e quanto a pessoa mais rápida já percorreu até esse encontro?"
- Palavras-chave decisivas: mesmo ponto, mesmo instante, velocidade v e 2v, pista de ida e volta de comprimento D, primeiro encontro.
- Armadilha típica: supor que se encontrarão na "metade do percurso" ou que a mais rápida dá uma volta inteira antes — a geometria da pista com retorno inverte o sinal da velocidade da 2ª pessoa após ela atingir D.
- Critério de acerto: dividir em duas fases:
- Fase 1 (0 até t₁): ambos vão no mesmo sentido, a mais rápida fica na frente, não há encontro.
- Fase 2 (a partir de t₁, quando a 2ª atinge D e volta): agora a 2ª vem ao encontro da 1ª — aí ocorre o encontro.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- MRU: posição em função do tempo, s = s₀ + v·t. Se a velocidade muda de sinal (retorno), escrever separadamente.
- Encontro de móveis em rota de colisão: a velocidade relativa de aproximação é soma dos módulos se vão em sentidos opostos.
- Distância entre dois pontos se movendo: Δs = posição_rápida − posição_lenta. Encontro ocorre quando Δs = 0.
- Geometria do problema: a pessoa 1 faz um caminho linear a velocidade v; a pessoa 2 faz um triângulo temporal (vai a 2v até D, volta a 2v até o encontro).
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: ambos partem em t = 0 do ponto 0, na mesma direção (positiva).
- Evidência 2: P1 viaja com v (módulo) — nunca alcança P2 enquanto ambos vão no mesmo sentido (P2 é 2× mais rápido).
- Evidência 3: P2 atinge D em t₁ = D / (2v) e inverte o sentido. A partir daí, P2 tem velocidade −2v; P1 ainda vai com +v.
- Evidência 4: em t₁, P1 está em v · D/(2v) = D/2 (meio do caminho), P2 está em D. Distância entre eles = D/2.
- Síntese: as duas pessoas agora se aproximam com velocidade relativa (v + 2v) = 3v; encontram-se depois de Δt = (D/2) / (3v) = D/(6v).
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Instante em que P2 atinge o final da pista
$$
t_1 = \frac{D}{2v}
$$
- P1, nesse instante, já percorreu: x₁(t₁) = v · D/(2v) = D/2.
- P2, nesse instante, está em: x₂(t₁) = D (e inicia o retorno).
Subpasso 4.2 — Segunda fase: P1 avança, P2 retorna
- Posições em função do tempo adicional t' (medido a partir de t₁):
- x₁(t') = D/2 + v·t'
- x₂(t') = D − 2v·t'
- Igualando (encontro):
$$
D/2 + v\,t' = D - 2v\,t' \Rightarrow 3v\,t' = D/2 \Rightarrow t' = \frac{D}{6v}
$$
Subpasso 4.3 — Tempo total até o encontro
$$
t_{\text{enc}} = t_1 + t' = \frac{D}{2v} + \frac{D}{6v} = \frac{3D + D}{6v} = \frac{4D}{6v} = \frac{2D}{3v}
$$
Subpasso 4.4 — Distância percorrida pela segunda pessoa
- Em MRU, distância = |v_2| · t_total = 2v · (2D/3v) = 4D/3.
- Interpretação: P2 fez ida completa (D) + volta parcial de D/3 = 4D/3.
Subpasso 4.5 — Verificação
- Posição do encontro: x₁(t_enc) = v · (2D/3v) = 2D/3 (a partir da origem). Consistente com x₂ = D − 2v · D/(6v) = D − D/3 = 2D/3. ✓
- P1 andou 2D/3 (alternativa A seria esta, mas a pergunta é sobre P2).
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 2D/3.
❌ Incorreta — é a distância percorrida pela P1, não pela P2. Armadilha clássica de identificar a pessoa certa.
B) 5D/4.
❌ Incorreta. Valor sem origem consistente; aparece se o aluno erra em t' = D/(4v).
C) 4D/3. ✅ Correta.
P2 faz a ida completa (D) e volta 1/3 do percurso (D/3), totalizando 4D/3. Equivalente a 2v · (2D/3v) = 4D/3.
D) 5D/3.
❌ Incorreta. Aparece se o aluno considera P2 indo até o fim, voltando ao início e saindo de novo (dupla volta), o que não corresponde ao "primeiro encontro".
E) 7D/4.
❌ Incorreta. Valor sem origem consistente; confusão de fração.
🏆 Gabarito: C — 4D/3.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: em pistas com retorno, o encontro ocorre após a pessoa rápida inverter o sentido. Trate o movimento em duas fases.
- Padrão de cobrança ENEM: cinemática com velocidade relativa em pistas (retorno de corredor, ponte, trem) é recorrente. Chave = identificar quando as velocidades deixam de ser paralelas e passam a ser antiparalelas.
- Generalização: Regra dos dois estágios — se um móvel inverte o sentido antes do encontro, calcule (a) posições no instante da inversão, (b) tempo de encontro usando velocidade relativa de aproximação (v₁ + v₂).
- Dica de eliminação: se a pergunta é sobre a pessoa 2 (2v), a resposta deve ser maior que D (ela completou a ida pelo menos). Eliminar A (2D/3) e B (5D/4 < D?). Entre C e D, a primeira volta parcial é mais curta → C.
- Conexões: velocidade relativa, encontro em sentidos opostos, gráfico s × t, ponto de intersecção de retas.