Questão 180 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (projeções ortogonais e elementos da esfera)
• ⚡ Nível: Difícil — exige visualização tridimensional e compreensão de como meridianos e paralelos se projetam em um plano horizontal
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Vistas e projeções ortogonais de sólidos e curvas no espaço (H8/H9)
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Como aparece, vista de cima, a projeção ortogonal sobre um plano horizontal de duas trajetórias na superfície da Terra: uma compõe trecho do Equador e a outra é formada por dois semi-meridianos perpendiculares entre si?"
• Palavras-chave decisivas: meridianos, planos perpendiculares, Linha do Equador, plano α paralelo ao Equador, vista superior, projeção ortogonal
• Armadilha típica: projetar os meridianos como arcos curvos (esquecendo que a projeção ortogonal de um semicírculo vertical sobre um plano horizontal é um segmento reto — diâmetro), ou esquecer que o Equador, sendo uma circunferência horizontal, projeta-se nele mesmo como circunferência inteira.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar que (1) o Equador, paralelo ao plano de projeção, projeta-se como circunferência; (2) cada meridiano, contido em plano vertical, projeta-se como segmento de reta (diâmetro); (3) dois meridianos perpendiculares geram dois diâmetros perpendiculares, formando uma cruz.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Meridianos: semicircunferências máximas que ligam o Polo Norte ao Polo Sul, contidas em planos verticais que passam pelo eixo da Terra. São perpendiculares ao Equador.
• Linha do Equador: circunferência máxima horizontal, perpendicular ao eixo polar.
• Projeção ortogonal sobre um plano: cada ponto P do espaço é "projetado" sobre o plano lançando uma reta perpendicular ao plano até atingi-lo. O conjunto dos pontos projetados forma a sombra geométrica.
• Projeção de figura horizontal em plano horizontal paralelo: se uma figura está num plano paralelo ao plano de projeção, ela se projeta numa cópia idêntica de si mesma — preservando forma e tamanho.
• Projeção de figura vertical em plano horizontal: uma curva contida em plano vertical "achata" no plano horizontal e vira o segmento que é a sua sombra. Especificamente, uma semicircunferência vertical projeta-se como um diâmetro (segmento reto).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Descrição da figura: desenho de globo terrestre com Polo Norte (N) no topo e Polo Sul (S) na base. Dois meridianos (1 e 2) são desenhados, cruzando-se nos polos. A Linha do Equador é uma circunferência horizontal no meio do globo. Há um plano α horizontal abaixo do globo, paralelo à linha do Equador. Tracejado pontilhado sobre os meridianos indica trajetórias.
• Evidência 1: "meridianos 1 e 2 estão contidos em planos perpendiculares entre si" → cada meridiano vive em um plano vertical, e os dois planos formam ângulo de 90° entre si.
• Evidência 2: "O plano α é paralelo ao que contém a Linha do Equador" → α é horizontal. Como o Equador é horizontal, projeta-se sobre α em verdadeira grandeza (mesma forma e tamanho).
• Evidência 3: "A vista superior da projeção ortogonal sobre o plano α dessas duas trajetórias é" → trajetórias formadas por dois meridianos (semicírculos verticais) e por trecho do Equador (arco horizontal). Pede-se a vista de cima.
• Síntese: o trecho do Equador projeta-se como arco/circunferência; cada meridiano projeta-se como diâmetro reto. Dois meridianos perpendiculares dão dois diâmetros perpendiculares (uma cruz). A vista combina circunferência com cruz inscrita.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Posicionar a esfera e o plano α

Imagine a esfera com o eixo N-S vertical. O plano α é horizontal (paralelo ao plano do Equador). A projeção ortogonal de cada ponto da esfera sobre α é feita por uma reta vertical (perpendicular ao plano horizontal).

Subpasso 4.2 — Projeção da Linha do Equador

A Linha do Equador é uma circunferência horizontal centrada no eixo polar. Como ela é paralela ao plano α, sua projeção ortogonal sobre α é uma circunferência idêntica — mesmo raio e mesma forma. Na vista superior, ela aparece como uma circunferência completa.

(Nota: a questão menciona "parte" do Equador como trajetória, mas essa parte projeta-se como arco da mesma circunferência. Combinada com os meridianos, a leitura padrão do enunciado e do desenho considera o contorno circular completo na vista superior, com a cruz inscrita.)

Subpasso 4.3 — Projeção de um meridiano

Cada meridiano é uma semicircunferência contida em plano vertical (que contém o eixo N-S). Ao projetar verticalmente um semicírculo vertical sobre o plano horizontal, todos os pontos do semicírculo "caem" sobre a reta interseção do plano vertical com α. Essa reta interseção é um diâmetro da circunferência projetada do Equador.

Logo, cada meridiano projeta-se como UM SEGMENTO DE RETA (diâmetro), não como um arco curvo.

Subpasso 4.4 — Projeção dos dois meridianos perpendiculares

Como os planos dos meridianos 1 e 2 são perpendiculares entre si, suas interseções com α (os respectivos diâmetros projetados) também são PERPENDICULARES entre si. Resultado: dois diâmetros que se cruzam em ângulo reto no centro da circunferência.

Subpasso 4.5 — Vista superior final

A composição é:

• uma circunferência (projeção do Equador);
• dois diâmetros perpendiculares dentro dela (projeções dos meridianos 1 e 2).

Esse padrão é exatamente o "círculo com cruz inscrita" — característica geométrica que distingue a alternativa E. As outras alternativas mostram arcos curvos para os meridianos (erro de visualização), apenas um diâmetro, ou apenas a circunferência sem os diâmetros — todas inconsistentes com a projeção correta.

Subpasso 4.6 — Verificação por simetria

A figura final tem simetria de quatro eixos (rotação de 90°), reforçando que os dois meridianos são perpendiculares e ambos projetam-se em diâmetros iguais. Bate com a descrição de E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Imagem com circunferência e UM único arco curvo interno

❌ Incorreta: representa a projeção de um único meridiano como arco — erro de não perceber que a projeção ortogonal de um semicírculo vertical sobre o plano horizontal é um segmento reto, não um arco. Além disso, ignora o segundo meridiano.

B) Imagem com circunferência e dois arcos curvos formando "vesica" interna

❌ Incorreta: projeta os meridianos como dois arcos curvos. O erro conceitual é o mesmo: projeção ortogonal de uma semicircunferência vertical NÃO é um arco, é um segmento de reta. Além disso, dois arcos não capturam a perpendicularidade dos planos meridionais.

C) Imagem com circunferência e UM único diâmetro reto

❌ Incorreta: acerta a projeção de um meridiano como diâmetro, mas representa apenas um, omitindo o segundo. Falha em refletir que há DOIS meridianos descritos no enunciado.

D) Imagem com circunferência e dois diâmetros NÃO perpendiculares (oblíquos)

❌ Incorreta: projeta dois meridianos como diâmetros, mas com ângulo diferente de 90°. Contradiz a hipótese explícita "os meridianos 1 e 2 estão contidos em planos perpendiculares entre si".

E) Imagem com circunferência e dois diâmetros perpendiculares (cruz inscrita)

✅ Correta: circunferência (projeção do Equador) com dois diâmetros perpendiculares (projeções dos meridianos 1 e 2). Reflete fielmente a projeção ortogonal de cada elemento e a perpendicularidade dos planos meridionais.

🏆 Gabarito: E — A vista superior mostra a circunferência da Linha do Equador atravessada por dois diâmetros perpendiculares, projeções dos meridianos 1 e 2.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a alternativa E combina (1) circunferência da projeção do Equador, (2) diâmetros retos (não arcos) para os meridianos e (3) perpendicularidade entre eles.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência projeções ortogonais de objetos 3D (cubos, esferas, prismas) sobre planos horizontais — "vista superior", "vista frontal", "vista lateral". O candidato precisa visualizar o "achatamento" das curvas verticais.
• Generalização: uma curva contida em plano paralelo ao plano de projeção projeta-se em verdadeira grandeza (forma e tamanho preservados); uma curva contida em plano perpendicular ao plano de projeção projeta-se como segmento da reta interseção dos dois planos.
• Dica de eliminação rápida: elimine de imediato qualquer alternativa que mostre os meridianos como arcos curvos (A e B), porque semicírculo vertical projetado em plano horizontal vira segmento de reta. Em seguida, descarte as que não respeitam a perpendicularidade dos planos (C, com um diâmetro só, e D, com diâmetros oblíquos). Sobra E.
• Conexões com outros temas: desenho técnico (vistas ortogonais), cartografia (projeções de meridianos e paralelos no plano), geometria descritiva, e óptica geométrica (sombra de objetos sob iluminação perpendicular).