Questão 142 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Combinatória (princípio multiplicativo e subconjuntos)
• ⚡ Nível: Médio — exige enumerar os subconjuntos de opcionais e aplicar o princípio fundamental da contagem
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Princípio multiplicativo em problemas de catálogo/configuração; contagem de subconjuntos
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual o menor número de cores C que garante que 7 × 2 × (número de combinações de opcionais) × C ultrapasse 1000 configurações distintas?"
• Palavras-chave decisivas: mais de 1 000 configurações, 7 modelos, 2 motores, 3 opcionais, optar por [...] um, dois, três ou nenhum, mínima de cores
• Armadilha típica: Tratar os opcionais como 3 escolhas exclusivas (como se o cliente escolhesse apenas 1 entre 3), obtendo 3 combinações. Ou esquecer de contar a opção "nenhum opcional". O correto é reconhecer que o cliente pode escolher qualquer subconjunto dos 3 opcionais, totalizando 2³ = 8 possibilidades.
• O que a resposta precisa demonstrar: Identificar 2³ = 8 combinações de opcionais, aplicar o princípio multiplicativo e resolver a inequação 7 × 2 × 8 × C > 1 000 para o menor inteiro C.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio fundamental da contagem: Se há n₁ escolhas para o primeiro atributo, n₂ para o segundo etc., o número de combinações possíveis é o produto n₁ × n₂ × n₃ × …
• Subconjuntos de um conjunto com n elementos: Para cada elemento há a opção "incluído" ou "não incluído", totalizando 2ⁿ subconjuntos. Com n = 3 opcionais: 2³ = 8 combinações (incluindo o subconjunto vazio, que é "nenhum opcional").
• Inequação linear com inteiros: Se 112·C > 1 000, então C > 1000/112 ≈ 8,928. O menor inteiro maior que 8,928 é 9.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "7 modelos de carros com 2 tipos de motores: 1.0 e 1.6" → fatores 7 (modelo) e 2 (motor).
• Evidência 2: "3 escolhas possíveis [...] podendo o cliente optar por incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais" → não é uma escolha entre 3, e sim a escolha de qualquer subconjunto dos 3. Número de possibilidades: 2³ = 8 (cada opcional entra ou não).
• Evidência 3: "mais de 1 000 configurações" → condição estrita (> 1 000, não ≥ 1 000).
• Síntese: A quantidade total de configurações é 7 × 2 × 8 × C = 112 · C. Queremos o menor inteiro C com 112 · C > 1 000.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contar combinações de opcionais

Há 3 opcionais: central multimídia (CM), rodas de liga leve (RL) e bancos de couro (BC). Cada um pode ser incluído ou não incluído, de modo independente. Portanto o número de subconjuntos possíveis é 2 × 2 × 2 = 2³ = 8. Listando explicitamente:

1. Nenhum opcional
2. Só CM
3. Só RL
4. Só BC
5. CM + RL
6. CM + BC
7. RL + BC
8. CM + RL + BC

São exatamente 8 possibilidades, coerentes com o enunciado "um, dois, três ou nenhum".

Subpasso 4.2 — Aplicar o princípio multiplicativo

Cada configuração é determinada por uma escolha independente de modelo (7 opções), motor (2 opções), combinação de opcionais (8 opções) e cor (C opções, a determinar). Pelo princípio multiplicativo:

N(C) = 7 × 2 × 8 × C = 112 · C.

Subpasso 4.3 — Montar e resolver a inequação

Precisamos que o total ultrapasse 1 000:

112 · C > 1 000

C > 1000 / 112

C > 8,9285…

O menor inteiro estritamente maior que 8,9285 é 9. Portanto C_min = 9.

Subpasso 4.4 — Conferir o valor mínimo

Substituindo: 112 × 9 = 1 008 configurações. Como 1 008 > 1 000, a condição "mais de 1 000" é satisfeita. Já com C = 8: 112 × 8 = 896 < 1 000, falha. Portanto 9 é o menor número de cores que cumpre a promessa da montadora.

Subpasso 4.5 — Verificação

1 008 > 1 000 ✓ com 9 cores; 896 < 1 000 ✗ com 8 cores. A alternativa compatível é B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 8

❌ Incorreta: Com 8 cores, o total é 112 × 8 = 896, ficando abaixo de 1 000. Quem escolhe 8 comete o erro de arredondar 1000/112 ≈ 8,93 para baixo, ou usa a condição "≥ 1 000" em lugar de "> 1 000".

B) 9

✅ Correta: 112 × 9 = 1 008 > 1 000. É o menor inteiro que ultrapassa 1 000 configurações.

C) 11

❌ Incorreta: Surge ao usar somente C(3,0)+C(3,1)+C(3,2)+C(3,3) = 8 e dividir 1 000/(7 × 2 × 8) de forma errada, ou ao esquecer de incluir o subconjunto vazio e obter apenas 7 combinações de opcionais, levando a 7 × 2 × 7 × C > 1 000 ⇒ 98C > 1 000 ⇒ C ≥ 11. Erro: não contou a opção "nenhum opcional".

D) 18

❌ Incorreta: Resulta de considerar apenas 3 opcionais como 3 escolhas exclusivas (cliente escolhe 1 entre 3), totalizando 7 × 2 × 3 × C > 1000 ⇒ 42C > 1000 ⇒ C ≥ 24, ou mesmo 18 se houver algum outro erro — em qualquer caso, interpreta mal a frase "três ou nenhum dos opcionais".

E) 24

❌ Incorreta: Vem do cálculo 7 × 2 × 3 × C > 1 000 ⇒ C > 23,8 ⇒ C = 24. Foi quem contou 3 opcionais como 3 possibilidades isoladas, sem compreender que cada opcional é independente.

🏆 Gabarito: B — 112 × 9 = 1 008 > 1 000, e 112 × 8 = 896 < 1 000; portanto o mínimo é 9 cores.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A letra B é correta porque, com 9 cores, chega-se a 1 008 configurações (ultrapassando 1 000), e 9 é o menor inteiro que satisfaz 112 · C > 1 000.
• Padrão de cobrança: O ENEM adora catálogos de produtos como pretexto para aplicar o princípio multiplicativo. A pegadinha quase sempre é no fator dos "opcionais": saber que escolher subconjuntos de n opções dá 2ⁿ possibilidades (não n).
• Generalização: Quando o cliente pode incluir ou excluir cada um de n itens independentemente, há 2ⁿ combinações, incluindo o conjunto vazio. Se houvesse exigência de pelo menos um item, seriam 2ⁿ − 1.
• Dica de eliminação rápida: Estime rapidamente 7 × 2 × 8 = 112. Para chegar a mais de 1 000 é preciso C > 8,9, então C = 9. Qualquer valor muito maior (18, 24) é suspeito e aponta para erro na contagem dos opcionais.
• Conexões com outros temas: subconjuntos, binômio de Newton (C(n,0) + C(n,1) + … + C(n,n) = 2ⁿ), princípio multiplicativo, catálogos, códigos e senhas.