Questão 140 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Combinatória e raciocínio lógico (contagem de rodadas com restrição de descanso)
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir corretamente "3 dias de descanso" em intervalo entre jogos de cada equipe
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Modelagem de problemas de agendamento; contagem e interpretação de restrições temporais
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos dias, no mínimo, são necessários para realizar toda a competição (fase de grupos + mata-mata até a final), sabendo que cada equipe precisa de pelo menos 3 dias de descanso entre dois jogos seus?"
• Palavras-chave decisivas: 32 equipes, 8 grupos com 4 equipes, mata-mata, mínimo 3 dias de descanso, domingo → quinta-feira, número mínimo de dias
• Armadilha típica: Interpretar "3 dias de descanso" como jogo a cada 3 dias (ou seja, dia 1, 4, 7, 10...). O próprio enunciado dá a dica explícita: "domingo → quinta-feira", ou seja, 4 dias de intervalo entre jogos (o time descansa segunda, terça, quarta e joga na quinta). Quem não percebe isso subestima a duração.
• O que a resposta precisa demonstrar: Identificar o passo de 4 dias entre jogos consecutivos da mesma equipe, calcular o número de jogos que cada equipe disputa no pior caso (fase de grupos com 3 + oitavas + quartas + semi + final) e multiplicar.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Fase de grupos: em cada grupo de 4 equipes, cada uma joga contra as outras 3, totalizando C(4,2) = 6 partidas por grupo e 3 jogos para cada equipe. Os 8 grupos podem jogar em paralelo, então o que controla a duração é o número de rodadas por grupo, não o número total de jogos.
• Quantidade de jogos por equipe no pior caso: 3 (grupos) + 1 (oitavas) + 1 (quartas) + 1 (semifinal) + 1 (final) = 7 jogos no total para a equipe campeã.
• Conversão de "3 dias de descanso": O enunciado exemplifica "domingo → quinta-feira". De domingo à quinta há 4 dias de diferença (segunda, terça, quarta são dias de descanso; na quinta joga de novo). Logo, se o primeiro jogo é no dia D, o segundo jogo só pode ocorrer a partir do dia D + 4.
• Paralelismo entre partidas: Como vários grupos e vários confrontos de mata-mata podem jogar no mesmo dia (em campos diferentes), o gargalo é sempre a sequência de jogos de uma mesma equipe.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "um time disputar uma partida, por exemplo, num domingo, só poderá disputar a partida seguinte a partir da quinta-feira da mesma semana" → determina sem ambiguidade que o intervalo mínimo entre dois jogos sucessivos do mesmo time é de 4 dias (de D para D+4).
• Evidência 2: "8 grupos com 4 equipes [...] cada equipe disputa uma única partida contra cada uma das demais" → cada equipe joga 3 vezes na fase de grupos.
• Evidência 3: "8 partidas da próxima fase [...] oitavas" e depois "4 partidas das quartas [...] 2 das semifinais [...] grande final" → a equipe campeã disputa 4 rodadas de mata-mata (oitavas, quartas, semi, final).
• Síntese: A equipe campeã terá 3 + 4 = 7 jogos. O primeiro no dia 1; cada jogo subsequente ao menos 4 dias após o anterior. Portanto, o 7º jogo ocorre no dia 1 + 6 × 4 = 25.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar o número de jogos da equipe campeã

Na fase de grupos, cada equipe enfrenta as outras três do grupo, jogando 3 partidas. Quem avança passa por oitavas, quartas, semifinal e final, totalizando mais 4 jogos. Assim, o campeão jogará 3 + 4 = 7 partidas no torneio.

Subpasso 4.2 — Converter a regra de descanso em intervalo entre jogos

O enunciado diz que, se o jogo é no domingo, o próximo só pode ser a partir da quinta-feira. Domingo é o dia D; quinta-feira é o dia D+4 (conta: segunda = D+1, terça = D+2, quarta = D+3, quinta = D+4). Então o intervalo mínimo entre dois jogos sucessivos da mesma equipe é de 4 dias, ou seja, o próximo jogo acontece no dia D + 4 (o time descansa em D+1, D+2, D+3 e joga em D+4). Portanto, entre jogos consecutivos, passam-se exatamente 4 dias civis (4 datas de calendário à frente).

Subpasso 4.3 — Escalonar os 7 jogos do campeão no calendário

Coloquemos o primeiro jogo do campeão no dia 1. As demais datas possíveis, respeitando o intervalo mínimo de 4 dias, são:

• Jogo 1: dia 1
• Jogo 2: dia 1 + 4 = 5
• Jogo 3: dia 5 + 4 = 9
• Jogo 4 (oitavas): dia 9 + 4 = 13
• Jogo 5 (quartas): dia 13 + 4 = 17
• Jogo 6 (semifinal): dia 17 + 4 = 21
• Jogo 7 (final): dia 21 + 4 = 25

Subpasso 4.4 — Verificar se os 8 grupos cabem nas 3 rodadas

É preciso confirmar que os 3 primeiros jogos de cada equipe (fase de grupos) cabem mesmo em 3 rodadas. Cada grupo tem 6 partidas. Em um grupo de 4 equipes, é possível jogar todas as 6 partidas em 3 rodadas, com 2 jogos por rodada (as 4 equipes se dividem em 2 pares por rodada). Logo, a fase de grupos consome exatamente 3 datas (dias 1, 5 e 9), respeitando a restrição. As demais fases são mata-mata, cada uma em um único dia, cabendo em 13, 17, 21 e 25.

Subpasso 4.5 — Verificação

Total de dias entre o primeiro jogo e o último (a final): 25 − 1 = 24 dias de intervalo, ou seja, 25 dias civis contados do dia 1 (inicial) ao dia 25 (final) inclusive. Isso bate com a alternativa B.

Verificação alternativa: são 6 intervalos obrigatórios de 4 dias (entre cada par de jogos consecutivos), num total de 6 × 4 = 24 dias de avanço. Somando o dia 1 inicial, o torneio termina no dia 25.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 22

❌ Incorreta: Valor obtido se alguém usa 6 intervalos de 3 dias cada entre jogos, ou seja, descanso de 3 dias interpretado como "próximo jogo em D+3", e ainda assim soma +1: 6 × 3 + 4 = 22. Ignora o exemplo explícito domingo→quinta.

B) 25

✅ Correta: 7 jogos separados por 4 dias cada, começando no dia 1, terminam no dia 1 + 6 × 4 = 25.

C) 28

❌ Incorreta: Conta 7 intervalos em vez de 6 (esquece que o primeiro jogo não tem intervalo anterior): 7 × 4 = 28. Erro de bordas típico em sequências aritméticas.

D) 48

❌ Incorreta: Confunde jogos por equipe com número total de rodadas — conta jogos totais do campeonato ou usa intervalo de semana inteira (7 dias) entre jogos: 7 × 7 − 1 ≈ 48. É uma duplicação da duração real.

E) 64

❌ Incorreta: Faz a contagem assumindo que cada jogo precisa de um dia exclusivo e depois soma os dias de descanso sem paralelismo, ou conta todas as 32 − 1 = 31 partidas do torneio e multiplica por 2, chegando a valores nessa faixa. Todos esses raciocínios ignoram que os jogos podem ocorrer em paralelo.

🏆 Gabarito: B — O campeão joga 7 partidas com 4 dias entre cada, ocupando os dias 1, 5, 9, 13, 17, 21 e 25; são 25 dias necessários.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A letra B é a única resposta porque, respeitando a regra domingo→quinta (4 dias entre jogos) e considerando 7 jogos do campeão, o torneio termina exatamente no 25º dia.
• Padrão de cobrança: O ENEM frequentemente usa esse tipo de problema de agendamento (tournament scheduling) para medir a capacidade do aluno de interpretar literalmente uma restrição temporal. A "pegadinha" está no significado exato de "3 dias de descanso".
• Generalização: Em problemas de "N jogos com d dias de descanso entre cada par consecutivo", o número mínimo de dias é 1 + (N − 1) × (d + 1), onde d é o número de dias de descanso interpretados como dias vazios entre jogos. Aqui, N = 7 e d = 3, então 1 + 6 × 4 = 25.
• Dica de eliminação rápida: Quem percebe que o campeão joga 7 partidas e que cada passagem entre jogos custa 4 dias reconhece instantaneamente 1 + 6 × 4 = 25. Valores como 48 e 64 são ordem de grandeza incompatível: 32 equipes com paralelismo não precisam de 2 meses.
• Conexões com outros temas: progressões aritméticas (sequência de dias de jogos), combinatória (C(4,2) jogos por grupo), grafos completos em grupos, contagem de rodadas e problemas de escalonamento.